3rd TMO ณ ม.นเรศวร - หน้า 2

nongtum · #16 14 พฤษภาคม 2006, 05:37

คุณ Passer-by แก้หา x ผิดหรือเปล่า เพราะจากเงื่อนไขด้านบน ผมได้ $\lambda(\frac12+\frac13+\frac14)=\frac{13}{12}\lambda=\frac{12}{13}$ ซึ่งจะได้ $\lambda=(\frac{12}{13})^2$ และ x=72/169

สุดยอดมากครับ ทั้งคุณ Passer-by น้อง Tummykun และน้อง Gools

passer-by · #17 14 พฤษภาคม 2006, 05:46

จากโจทย์ x+y+z =1 นะคร้าบ

[Cb : TkZ] · #18 14 พฤษภาคม 2006, 12:16

ตอนที่ 2 ข้อ 5 ยากจัง
คัยทำได้มั่งคับ
แสดง ให้ดูหน่อยซิคับ

R-Tummykung de Lamar · #19 14 พฤษภาคม 2006, 12:25

เท่าที่ดูมา คำตอบของพี่ Passer-by ไม่มีปัญหาเลยครับ

ตอนที่ 2 ข้อ 4 (Alternate)
สร้างตารางขนาด $4\times 7$ โดยแต่ละแถวเป็นกลุ่ม แต่ละคอลัมน์เป็นเลขที่
ผมตั้งสมมติฐานครับ ว่า ไม่มีอย่างที่โจทย์ต้องการ นั่นคือ มี อย่างมาก 1 คู่ จากสองแถว ที่อยู่ในคอลัมน์เดียวกัน และเป็นเพศเดียวกัน

โดยหลักรังนกพิราบ ในแต่ละแถวจะต้องมีเพศเดียวกันอย่างน้อย 4 คน ซึ่งเป็นเพศที่มากกว่า (ผมเรียกเพศนี้ว่า "เพศเอก" ของแต่ละแถว)

เนื่องจากเพศเอกมีได้ 2 เพศ (ช/ญ) ดังนั้น 4 แถว โดยหลักรังนกพิราบจะได้ว่า มีเพศเอกเป็นเพศเดียวกัน อย่างน้อย 2 แถว สมมติว่าเพศชาย

เพื่อไม่ให้ขัดแย้งกับสมมติฐาน 2 แถวที่มีเพศเอกป็นเพศชายนั้น จะวางตรงกัน 1 คู่ อีก 3 คน จะต้องไม่ตรงกัน และคนที่เหลือในแถวนั้นต้องเป็นเพศหญิงหมด

แถวที่เหลือ หากมีเพศชายเป็นเพศเอกอีก สมมติฐานจะขัดแย้ง ถ้าเป็นเพศหญิง สมมติฐานก็ขัดแย้งอยู่ดี
เป็นอันจบการพิสูจน์ ท

แหะๆ ดูจะยุ่งยากกว่าของพี่ Passer-by มากทีเดียว แต่ก็พอจะเป็นอีกแนวคิดละกันครับ

Pheeradej · #20 14 พฤษภาคม 2006, 13:31

ตอนที่ 2 ข้อ1 คับ
สมมติมีจำนวนนับที่เรียงถัดกัน 3 จำนวน ที่สอดคล้องเงื่อนไข
ให้ A เป็นจำนวนที่ 2 (จำนวนตรงกลาง)
จะได้จำนวนดังกล่าวคือ (A-1)(A)(A+1) = A(A²-1)
เนื่องจาก (A,A²-1) = 1
ดังนั้น A=a² ,A²-1 = b² $a,bฮN
ซึ่งจาก case A²-1 = b² พบว่าเป็นไปไม่ได้
จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น จบการพิสูจน์คับ

passer-by · #21 14 พฤษภาคม 2006, 15:30

ข้อ 16 ผมคิดแบบ กำปั้นทุบดินมากๆ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า
ถ้าพิจารณา แผนภาพ Venn-Euler ของ AศBศC พบว่ามี 7 บริเวณ
และ เลข 1-2549 ต้องบรรจุในแผนภาพนี้ บริเวณใดบริเวณหนึ่ง ดังนั้นเลข 1 ตัว มีทางเลือก 7 แบบ
สรุปว่ามีวิธีสร้างเซต A,B,C ได้ 7²⁵⁴⁹ วิธี

เท่าที่ดูมาทั้งหมด ผมว่า ข้อ 5 ตอนที่ 2 ยากที่สุดแล้วมั้งครับ (ยากพอๆกับ ข้อ composite function ของ TMO ปีที่แล้วเลย) รอเซียน Number theory มาตอบดีกว่า

แล้วก็ขอถามน้องที่ไปแข่งมาน่ะครับ ว่า คะแนนเต็มแต่ละข้อ เท่าไหร่บ้าง

ตอนนี้เหลือ ข้อ 11,17 (ตอนที่ 1) และข้อ 2,5 (ตอนที่ 2) เซียนๆทั้งหลาย รีบมา post กันนะครับ

warut · #22 14 พฤษภาคม 2006, 17:32

ข้อ 5. ตอนที่ 2 มาแนวเดียวกับ IMO 2005 ข้อ 4. (ดูได้ที่ ข้อ 7. Number Theory มาราธอน ครับ) แต่ยากกว่า!

ให้ $p=2549$ ดังนั้น $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
ให้ $m=(p-3)/2$ และ $n=p-2$ จะเห็นว่า $(m,n)=1$ เพราะ $n-2m=1$
ให้สังเกตว่า $$(25\cdot 49)((25\cdot 49)^m +25^n- 2\cdot49^n) $$ $$ =(5\cdot7)^{p-1}+ 49\cdot 25^{p-1} -2\cdot25 \cdot49^{p-1}$$ $$ \equiv1+49-2\cdot25 \equiv 0 \pmod p$$ เราจึงได้ว่า $2549 \mid (25\cdot 49)^m +25^n- 2\cdot49^n$ ตามที่ต้องการครับ

nongtum · #23 14 พฤษภาคม 2006, 19:20

ตอนที่ 2 ข้อ 2
กำหนด ะBAQ=x=ะQPC, ะAQR=ะRQC=y, ะPAQ=z=ะACQ, ะAQB=w ดังนั้นจะได้ว่า
$\displaystyle\frac{\sin y}{RC}=\frac{\sin z}{QR},\quad\frac{\sin y}{AR}
=\frac{\sin z}{QR}
\quad\Rightarrow\quad\frac{AR}{RC}=\frac{\sin z}{\sin x}=:k$
$\displaystyle\frac{\sin z}{PQ}=\frac{\sin (180-w)}{PA}=\frac{\sin w}{PA},
\quad\frac{\sin x}{PQ}=\frac{\sin (2y-w)}{PA}
\quad\Rightarrow\quad\frac{\sin z}{\sin x}=\frac{\sin w}{\sin (2y-w)}$
$\displaystyle\frac{\sin w}{AB}=\frac{\sin x}{QB},\quad\frac{\sin (2y-w)}{BC}
=\frac{\sin z}{QB}
\quad\Rightarrow\quad\frac{AB}{BC}=\frac{\sin w}{\sin (2y-w)}\cdot\frac{\sin z}{\sin x}=k^2$
จบการพิสูจน์

gon · #24 14 พฤษภาคม 2006, 20:18

ผมทำตอนที่ 1 ข้อ 17 แล้วกัน ตอบ 16 วิธี
ใครลองทำดูแล้วตรวจดูด้วยนะครับ.

สมมติให้ A, B, C D, E, F เป็นสมาชิกที่แตกต่างกันของเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6}

เมื่อพิจารณาค่า A จะพบว่า A = 1 เท่านั้นที่เป็นไปได้

เมื่อพิจารณาค่า B จะพบว่า B = 2, 3, 4 เท่านั้นที่เป็นไปได้
เพราะถ้า B = 5 แล้วสมาชิกที่เหลือคือ 2, 3, 4, 6 จะต้องมีอย่างน้อย 2 จำนวน (D, E) ที่มีค่ามากกว่า 5 ซึ่งไม่มี ในทำนอง B = 6 ก็เช่นเดียวกัน

จึงมีกรณีที่ต้องพิจารณาทั้งหมด 3 กรณีใหญ่ ๆ
กรณีที่ 1 , B = 2
มีกรณีย่อยที่ต้องพิจารณาอีก 2 กรณีคือ C = 3 หรือ 4 ด้วยเหตุผลเดียวกับที่พิจารณาค่าของ B
กรณีที่ 1.1 , C = 3 : D, E, F จะอยู่ใน {4, 5, 6} ซึ่งสามารถสลับที่ได้ทั้งหมด 3! วิธี

กรณีที่ 1.2 , C = 4
เนื่องจาก 4 ต้องน้อยกว่าทั้ง E และ F ดังนั้น E กับ F จะต้องเป็น 5 หรือ 6 และ D = 3 เท่านั้น ดังนั้น คำตอบในกรณีนี้จะมี 2! วิธี

กรณีที่ 2 , B = 3
มีกรณีย่อยที่ต้องพิจารณาอีก 2 กรณีคือ C = 2 หรือ 4 ด้วยเหตุผลเดียวกับที่พิจารณาค่าของ B
กรณีที่ 2.1 , C = 2 จำนวนคำตอบจะเท่ากับกรณีที่ 1.1 คือ 3! วิธี

กรณีที่ 2.2 , C = 4 จะพบว่ากรณีนี้เป็นไปไม่ได้ เพราะ E กับ F จะต้องเป็น 5 หรือ 6 เท่านั้น ซึ่งทำให้ D = 2

กรณีที่ 3 , B = 4
มีกรณีย่อยที่ต้องพิจารณาอีก 2 กรณีคือ C = 2 หรือ 3 ด้วยเหตุผลเดียวกับที่พิจารณาค่าของ B

กรณีที่ 3.1 , C = 2 จำนวนคำตอบจะเท่ากับกรณีที่ 1.2 คือ 2! วิธี

กรณีที่ 3.2 , C = 3 จะพบว่ากรณีนี้เป็นไปไม่ได้ เพราะ D กับ E จะต้องเป็น 5 หรือ 6 เท่านั้น ซึ่งทำให้ F = 2

ดังนั้นคำตอบทั้งหมดจึงเป็น 3! + 2! + 3! + 2! = 16 วิธี

nongtum · #25 14 พฤษภาคม 2006, 22:06

11. จาก $2006\equiv4\pmod{13},\ 4^{12}\equiv1\pmod{13}$ และ $2^{12}=4^6\equiv1\pmod{13}$ จะได้ว่า
$4^{(6k+1)^2-1}=(4^{12})^{3k^2+k}\equiv1\pmod{13}$ และ $4^{(6k+5)^2-1}=(4^6)^{6k^2+10k+4}\equiv1\pmod{13}$
ดังนั้น $\prod_{i=1}^{2549}\;2006^{{p_i}^2-1}
\equiv4^{3+8}\prod_{i=3}^{2549}\;2006^{{p_i}^2-1}\equiv4^5\cdot1=10\pmod{13}$

edit: ตก 3 ไปได้ไงเนี่ย...

passer-by · #26 15 พฤษภาคม 2006, 01:11

ตอนที่ 2 ข้อ 2 (Alternative solution)

ให้ $ C \hat{A}Q= x \quad A\hat{C}Q= z \quad A\hat{P}Q= \theta_1 \quad Q\hat{P}C= \theta_2 $

จากที่คุณ nongtum ทำไว้ $ \frac{AR}{RC}= \frac{\sin z}{\sin x} $

จากนั้น ใช้ law of sine กับสามเหลี่ยม APQ และ PQC จะได้
$\frac{AQ}{\sin\theta_1}=\frac{PQ}{\sin (\pi-z)} \,\, \text{and} \,\, \frac{QC}{\sin \theta_2}=\frac{PQ}{\sin (\pi-x)} \rightarrow (\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2})(\frac{QC}{AQ})=\frac{\sin z}{\sin x}=\frac{AR}{RC} \cdots (1) $

ประกอบกับการเทียบพื้นที่ในสามเหลี่ยมย่อยใน APC และ AQC จะได้ความสัมพันธ์

$ \frac{AR}{RC}=\frac{AQ}{QC} \cdots (2) $
$ \frac{AB}{BC}=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} \cdots(3) $

จาก (2) ,(3) แทนใน (1) จะได้สิ่งที่โจทย์ต้องการ

ส่วนข้อ 11 ตอนที่ 1
ผมว่าคุณ nongtum ลืมพิจารณาจำนวนเฉพาะ 3 ไปนะครับ เพราะ 6kฑ1 ไม่ cover เลข 3

และบรรทัดสุดท้าย น่าจะเป็น -1 ที่อยู่หน้าเครื่องหมาย product นะครับ ไม่น่าจะเป็นเลข 4

p.s. สำหรับน้องที่ผ่านรอบนี้แล้ว และอยากเพิ่มศักยภาพให้ตัวเอง ลองไปหาข้อสอบ training olympiad ของจีน มาลองทำดูก็ดีครับ ผมว่าโหดสุดๆแล้ว

nongtum · #27 15 พฤษภาคม 2006, 02:02

ขอบคุณสำหรับคำท้วงติงครับ แก้คราวนี้หวังว่าจะไม่มีที่ผิด แต่ถ้ายังเจอหรือมีวิธีทำที่ต่างจากนี้ก็บอกกันได้ครับ

1. ข้อสอบชุดนี้มีข้อที่ต้องใช้ Little Fermat ช่วยตั้งสี่ห้าข้อ ไม่อยากนึกเลยว่าหากต้องไปนั่งสอบด้วยจริงจะทำได้อย่างนี้ไหม อยากรู้เหมือนกันว่าแต่ละข้อมันกี่คะแนน

2. เพิ่มลิงค์ TMO 3rd ในหน้ารวมลิงค์ข้อสอบแล้วนะครับ

warut · #28 15 พฤษภาคม 2006, 06:00

ข้อ 17. ตอนที่ 1 ผม simplify วิธีคิดของคุณ gon ได้โดยแบ่งเป็น 2 กรณีดังนี้ครับ

กรณีที่ 1 แถวกลางเป็นเลข 2 กับ 3
ดังนั้นแถวกลางจึงเรียงได้ 2! วิธี: 2,3 กับ 3,2
ส่วนแถวล่างซึ่งประกอบด้วย 4, 5, 6 จะเรียงได้ 3! วิธี
ดังนั้นในกรณีที่ 1 นี้จึงต่อตัวได้ทั้งหมด 2!3! วิธี

กรณีที่ 2 แถวกลางเป็นเลข 2 กับ 4
ดังนั้นแถวกลางจึงเรียงได้ 2! วิธี: 2,4 กับ 4,2
ส่วนแถวล่างซึ่งประกอบด้วย 3, 5, 6 จะเรียงได้ 2! วิธี เพราะเราทำได้แค่สลับ 5 กับ 6 ใต้ 4 เท่านั้น
ดังนั้นในกรณีที่ 2 นี้จึงต่อตัวได้ทั้งหมด 2!2! วิธี

รวมต่อตัวได้ 2!3! + 2!2! = 16 วิธีครับ

R-Tummykung de Lamar · #29 15 พฤษภาคม 2006, 08:43

ตอนแรก (เติมคำตอบ) 18 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน รวม 18 คะแนน
ตอนที่สอง (แสดงวิธีทำ) 6 ข้อ ข้อละ 7 คะแนน รวม 42 คะแนน

รวมสองวัน 60 คะแนน

ปล.ข้อ 5 พี่ warut ทำยังไงถึงจะรู้ว่าให้ m,n เท่ากับตัวนั้นอะครับ

warut · #30 15 พฤษภาคม 2006, 12:47

ใช้การลองผิดลองถูก บวกกับประสบการณ์ที่ได้จากการทำโจทย์ IMO ข้อนั้นครับ

Edit: ลืมบอกไปว่า ค่าของ m, n ที่ผมใช้นั่น ถ้าสลับกันก็ยังใช้ได้ครับ