Po Leung Kuk 2011 ครั้งที่14 ประเภทบุคคล

[banker]

Po Leung Kuk 2011 ครั้งที่14 ประเภทบุคคล
http://www.chiuchang.org.tw/modules/...hp?storyid=477

แข่งไม่กี่วัน เมืองจีนเขาเอาข้อสอบมาโพสต์แล้ว ทั้่งภาษาจีน ภาษาอังกฤษ ให้เด็กเขาฝึกทำแล้ว

ของพี่ไทย ยังไม่เห็นเงาเลย

[banker]

(คุณกิตติแปล)
3.จากรูปแสดงข้างล่างนี้ ช่องว่างหกรูปถูกเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงแปดเส้น เมื่อนำตัวเลข $1,2,3,4,5$และ $6$
มาใส่ในช่องว่างทั้งหกช่องโดยที่ไม่ให้ซ้ำกันและช่องหนึ่งช่องมีตัวเลขเพียงตัวเดียว
จะมีส่วนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างช่องว่างสองช่องที่มีตัวเลขที่ไม่เรียงติดกัน ได้มากที่สุดกี่เส้น



(คุณกิตติแปล)
4.จงหาค่าของ
$100\times 99-99\times 98+98\times97-97\times96+...+4\times3-3\times2+2\times1$





(คุณกิตติแปล)
6.ถ้า $70,98$ และ $143$ ถูกหารด้วยจำนวนเต็มบวกค่าหนึ่งแล้วผลรวมของเศษที่เหลือจากการหารเท่ากับ $29$
จงหารจำนวนเต็มบวกจำนวนนี้



(คุณกิตติแปล)
7.ผลบวกของจำนวนเต็มบวก(จำนวนนับ)ที่เรียงติดกัน $888$ จำนวน เขียนได้ตามนี้
$ n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+886)+(n+887)$
ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จงหาว่าค่า$n$ ที่เป็นไปได้ที่มีค่าน้อยที่สุด







(คุณกิตติแปล)
10.นำรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวของแต่ละด้านเท่ากับ $1$ เซนติเมตร
มาจัดเรียงกันเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมตามภาพแสดง จงหาความยาวของเส้นรอบรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในลำดับที่ $2011$



(คุณกิตติแปล)
11.ผลบวกของเลขหลักหน่วยของ $7777^7$และ $77^{777}$ เท่ากับเท่าไหร่



(คุณกิตติแปล)
12.มีกล่องสามใบใส่ลูกแก้วในจำนวนที่แตกต่างกัน
เมื่อหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบแรกเท่ากับ หนึ่งในสามของจำนวนลูกแก้วในกล่อง
จากนั้นหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบที่สองเท่ากับ หนึ่งในสี่ของจำนวนลูกแก้วในกล่อง
และหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบที่สามเท่ากับหนึ่งในห้าของจำนวนลูกแก้วในกล่อง
พบว่าลูกแก้วที่เหลือในกล่องทั้งสามมีจำนวนเ่ท่ากันพอดี
อยากทราบว่าจำนวนลูกแก้วที่น้อยที่สุดหยิบออกจากกล่องสามใบเท่ากับเท่าไหร่



(คุณกิตติแปล)
13.มาเรียกำลังเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันPO LEUNG KUK
ในระหว่างช่วงพัก มาเรียเขียนตัวหนังสือเหล่านี้ลงบนหัวกระดาษมีเส้นดังนี้
PO LEUNG KUK 14TH PMWC
ในบรรทัดต่อมาซึ่งเป็นบรรทัดแรก มาเรียสลับตัวอักษรแรกของคำไปต่อท้ายคำ ดังนี้
OP EUNGL UKK 4TH1 MWCP
จากนั้นมาเรียก็ทำแบบเดียวกันในบรรทัดที่สอง
PO UNGLE KKU TH14 WCPM
มาเรียเขียนแบบนี้ไปเรื่อย
ในบรรทัดที่เท่าไหร่ที่มาเรียกลับมาเขียนเหมือนตัวเริ่มต้น
PO LEUNG KUK 14TH PMWC
(ข้อนี้น่าจะใช้การหาค.ร.น.)




คุณกิตติแปล
14.เลขสองหลักท้ายสุดของ$1!+2!+3!+4!+...+2010!+2011!$
โดย$n!=1\times2\times3...n$
($10!$ ลงท้ายด้วย$00$...ผลบวกสองหลักท้ายก็หาจาก $1!+2!+3!+...+9!$)



คุณกิตติแปล
15.สมมุติว่า $1\times2\times3...2010\times2011=14^n\times A$ เมื่อ $n$ และ $A$ เป็นจำนวนนับ(จำนวนเต็มบวก).
จงหาค่ามากที่สุดของ $n$

[banker]

ประเภททีม

[banker]

(คุณกิตติแปล)
1.ตามแผนภาพที่ให้มา รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(regular hexagon) $PRUVWX$
วางบนเส้นทะแยงมุมหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(regular pentaagon) $PQRST$ คือ $PR$
จงหาขนาดของมุม $\angle SRU$ ในหน่วยองศา



(คุณกิตติแปล)
2.มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $100$กี่จำนวนที่มีตัวประกอบเป็นจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนเท่านั้น(exactly four positive divisor)
(ผมไม่ได้แปลdivisorว่าตัวหาร เพราะในwikipediaให้ความหมายของ"divisor"ว่า..a divisor of an integer n,
also called a factor of n ตัวอย่าง...7 is a divisor of 42=7 is a factor of 42)



(คุณกิตติแปล)
3.ตามรูปแบบการเรียงของจำนวนนับที่แสดงข้างล่างนี้ ในแถว(row)ลำดับที่เท่าไหร่และหลัก(column)ลำดับที่เท่าไหร่
จึงจะมีเลข$2011$ ตัวอย่าง.เลข$23$ อยู่ในแถวที่ $3$ และหลักที่ $5$


(คุณกิตติแปล)
4.จำนวน $PLK$ หมายถึงจำนวนเต็มบวกที่เป็นทั้งจำนวนสามเหลี่ยม(Triangular number)และจำนวนสี่เหลี่ยม(square number)
ตัวอย่างคือ $36$ เป็นจำนวน $PLK$ เพราะ $36=1+2+..+8$ และ $36=6^2$ จำนวน $PLK$ ถัดจากเลข $36$ คือเลขอะไร
บันทึกข้อความ:-
จำนวนสามเหลี่ยม(Triangular number) คือผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่เรียงติดกันโดยเริ่มนับจาก $1$
อย่างเช่น $1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4$ เป็นต้น
จำนวนสี่เหลี่ยม(square number)คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกกับตัวมันเอง
อย่างเช่น $1=1\times 1,4=2\times2,9=3\times3,16=4\times4$


(คุณกิตติแปล)
5.ต้องการตัดพื้นที่รูปแรเงาไปตามแนวตาราง(ตะแกรง)ออกเป็นสองส่วนแล้วนำมาประกอบใหม่ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด$6\times 5$.
แสดงคำตอบด้วยการวาดเส้นแบ่งไปตามแนวตาราง


(คุณกิตติแปล)
6.ช่องว่างสี่เหลี่ยมในแผนภาพข้างล่าง แต่ละช่องมีตัวเลข ซึ่ง
เป็นเลขพหุคูณของ $5$ มีค่าตั้งแต่ $5$ ถึง $60$ และตัวเลขไม่ให้ซ้ำกัน
เลขอะไรอยู่ในตำแหน่งใด โดยที่
6.1.แต่ละช่องต้องไม่มีตัวเลขที่เป็นผลคูณของเลขกำกับช่องกับ $5$
6.2.$15,40$ และ $55$ ต้องเรียงติดกัน(successive=consecutive)
6.3.เลข $5$ เขียนในช่องเลขคี่
6.4.จำนวนที่เขียนในช่องที่ $6$ ต้องมากกว่าจำนวนที่เขียนในช่องที่ $8$
6.5 ผลต่างของจำนวนที่เขียนในช่องที่ $7$ และ $8$ เท่ากับ $5$
6.6 เลข $20$ อยู่ในช่องที่ $2$
6.7 เลขในช่องที่ $5$ ลงท้ายด้วย $0$
6.8 จำนวนในช่องที่ $4$ มีค่าเป็นสองเท่าของช่อง $12$
6.9 เลข $25$ อยู่ในช่องที่มีหมายเลขกำกับมีค่าน้อยกว่าช่องที่มีเลข $35$ อยู่ $2$ ลำดับ


(คุณกิตติแปล)
7.มีแผนภาพรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด $8 \times 8$ ประกอบด้วยจัตุรัสหนึ่งหน่วย(Unit square) 64 หน่วย
ต้องการระบายสีดำ(แรเงา)ลงบนจัตุรัสหนึ่งหน่วยโดยที่
7.1 ทุกแถว(row)ต้องมีจำนวนช่องที่ถูกระบายเท่ากัน และ
7.2 แต่ละหลัก(column)มีจำนวนช่องที่ถูกระบายไม่เท่ากัน


(คุณกิตติแปล)
8.สี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ มีจุด $L,M$ และ $N$ อยู่บนด้าน $AB,BC$ และ $CD$ ตามลำดับ โดยที่$AL:LB=BM:MC=CN:ND=2:1$
และผลรวมของพื้นที่สามเหลี่ยม $ADN,DCM$ และ $CLB$ เท่ากับ $2178$ ต.ร.ซ.ม.
จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม$BMOL$ ในหน่วย ต.ร.ซ.ม.โดยที่จุด $O$ เป็นจุดตัดของเส้นตรง $AM$ กับ $NL$



(คุณกิตติแปล)
9.เมื่อวิเคราะห์จำนวนนับหกหลักที่มีค่าตั้งแต่ $100000$ ถึง $999999$.
จะเรียกจำนวนนั้นว่า"จำนวนน่ารัก"เมื่อผลรวมของเลขสามหลักแรกเท่ากับผลรวมของเลขสามหลักหลัง
และเีรียกจำนวนนั้นว่า"จำนวนงดงาม" เมื่อผลรวมของตัวเลขในตำแหน่งคี่เท่ากับผลรวมของตัวเลขในตำแหน่งคู่
อยากทราบว่ามีกี่จำนวนที่เป็นทั้ง"จำนวนน่ารัก"และ"จำนวนงดงาม"


(คุณกิตติแปล)
10.แผนที่ของประเทศหนึ่งที่มีรัฐ $6$ รัฐคือ $A,B,C,D,E$ และ $F$ เป็นไปตามภาพที่แสดงข้างล่าง
ต้องการระบายสีลงบนแผนที่โดยใช้สีต่างกัน $5$ สี และรัฐที่มีเขตแดนร่วมกัน(คือรัฐที่ติดกัน)ต้องระบายด้วยสีต่างกัน
ระบายหนึ่งรัฐต่อหนึ่งสีเท่านั้น
จงหาว่าระบายสีลงในแผนที่ได้ทั้งหมดกี่วิธี (ไม่จำเป็นต้องใช้ทุกสีในการระบายสีแต่ละครั้ง)

[กิมจิ]

ดาวโหลดตรงไหนหรอครับ คลิ๊กเข้าไปเจอแต่ภาษาจีนถึงกับงง ขอบคุณนะครับ

[banker]

คลิกตรงบรรทัดแรก (สีน้ำเงิน 2011 .....) จะได้ zip file มา

แตก zip file จะมีภาษาจีน 2 files ภาษาอังกฤษ 2 files

[banker]

มาเจิมข้อแรกให้ก่อน





สามเหลี่ยม $CDB$ มีพื้นที่ 7.5 ตารางเซนติเมตร

ลาก $BD'$ ทำให้สามเหลี่ยม $BD'C$ เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม $ABD$

จะได้ $CD' = DB = 3 \ \ \ \to DD' = 5 -3 = 2 $

สามเหลี่ยมสีฟ้า มีพื้นที่ 3 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สามเหลี่ยม $CD'B$ = สามเหลี่ยม$ \ ADB = 7.5 - 3 = 4.5 \ $ตารางเซนติเมตร

[yellow]

2)

เด็กผู้ชาย 5 คนไปจับปลาและจับมาได้ 31 ตัว เด็กที่จับปลาได้มากที่สุดจับปลาได้เป็นจำนวน 3 เท่าของเด็กที่จับปลาได้น้อยที่สุด อยากทราบว่าเด็กที่จับปลาได้มากเป็นอันดับสองจับปลาได้กี่ตัว ถ้าพวกเขาทุกคนจับปลาได้จำนวนไม่เท่ากัน



หาค่าเฉลี่ยได้ $\frac{31}{5} = 6.2$ แสดงว่าเด็กที่จับปลาได้มากสุด ต้องจับได้มากกว่า 6 ตัว และเป็นจำนวนที่หาร 3 ลงตัว


ถ้าให้เด็กจับมากได้ 9 ตัว

เด็กจับน้อยได้ 3 ตัว

ที่เหลือ 19 ตัว แบ่งได้ตามเงื่อนไขของโจทย์ได้ 2 วิธี คือ

8, 7, 4

8, 6, 5


กรณีถ้าให้เด็กจับมากได้ 12 ตัว หรือ 15 ตัว ไม่สามารถแบ่งตามเงื่อนไขของโจทย์ได้



ดังนั้น เด็กที่จับปลาได้มากเป็นอันดับสอง จับได้ 8 ตัว

[banker]

$(100 \times 99 - 99 \times 98) + (98 \times97 - 97 \times 96) + ...+(4 \times 3 - 3 \times 2) + (2\times 1 - 1 \times0)$

$ = (99 \times 2) + (97 \times 2) + ... +(3 \times2) + (1 \times2)$

$ = 2 (99 +97 +... + 3 + 1)$

$ = 2 (\frac{1+99}{2})^2$

$ = \frac{100^2}{2}$

$ = 5000$

[banker]

$ 1 : 1 \ \ Ans.$

[กิตติ]

เดี๋ยวผมลองแปลข้อที่สั้นๆให้ก่อน
ข้อสอบรายบุคคล

3.จากรูปแสดงข้างล่างนี้ ช่องว่างหกรูปถูกเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงแปดเส้น เมื่อนำตัวเลข $1,2,3,4,5$และ $6$ มาใส่ในช่องว่างทั้งหกช่องโดยที่ไม่ให้ซ้ำกันและช่องหนึ่งช่องมีตัวเลขเพียงตัวเดียว จะมีส่วนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างช่องว่างสองช่องที่มีตัวเลขที่ไม่เรียงติดกัน ได้มากที่สุดกี่เส้น

4.จงหาค่าของ
$100\times 99-99\times 98+98\times97-97\times96+...+4\times3-3\times2+2\times1$

6.ถ้า $70,98$ และ $143$ ถูกหารด้วยจำนวนเต็มบวกค่าหนึ่งแล้วผลรวมของเศษที่เหลือจากการหารเท่ากับ $29$ จงหาจำนวนเต็มบวกจำนวนนี้

7.ผลบวกของจำนวนเต็มบวก(จำนวนนับ)ที่เรียงติดกัน $888$ จำนวน เขียนได้ตามนี้
$ n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+886)+(n+887)$
ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จงหาว่าค่า$n$ ที่เป็นไปได้ที่มีค่าน้อยที่สุด

10.นำรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวของแต่ละด้านเท่ากับ $1$ เซนติเมตร มาจัดเรียงกันเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมตามภาพแสดง จงหาความยาวของเส้นรอบรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในลำดับที่ $2011$

11.ผลบวกของเลขหลักหน่วยของ $7777^7$และ $77^{777}$ เท่ากับเท่าไหร่

12.มีกล่องสามใบใส่ลูกแก้วในจำนวนที่แตกต่างกัน เมื่อหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบแรกเท่ากับ หนึ่งในสามของจำนวนลูกแก้วในกล่อง จากนั้นหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบที่สองเท่ากับ หนึ่งในสี่ของจำนวนลูกแก้วในกล่อง และหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบที่สามเท่ากับหนึ่งในห้าของจำนวนลูกแก้วในกล่อง พบว่าลูกแก้วที่เหลือในกล่องทั้งสามมีจำนวนเ่ท่ากันพอดี อยากทราบว่าจำนวนลูกแก้วที่น้อยที่สุดหยิบออกจากกล่องสามใบเท่ากับเท่าไหร่

13.มาเรียกำลังเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันPO LEUNG KUK ในระหว่างช่วงพัก มาเรียเขียนตัวหนังสือเหล่านี้ลงบนหัวกระดาษมีเส้นดังนี้
PO LEUNG KUK 14TH PMWC
ในบรรทัดต่อมาซึ่งเป็นบรรทัดแรก มาเรียสลับตัวอักษรแรกของคำไปต่อท้ายคำ ดังนี้
OP EUNGL UKK 4TH1 MWCP
จากนั้นมาเรียก็ทำแบบเดียวกันในบรรทัดที่สอง
PO UNGLE KKU TH14 WCPM
มาเรียเขียนแบบนี้ไปเรื่อย
ในบรรทัดที่เท่าไหร่ที่มาเรียกลับมาเขียนเหมือนตัวเริ่มต้น
PO LEUNG KUK 14TH PMWC
(ข้อนี้น่าจะใช้การหาค.ร.น.)

14.เลขสองหลักท้ายสุดของ$1!+2!+3!+4!+...+2010!+2011!$
โดย$n!=1\times2\times3...n$
($10!$ ลงท้ายด้วย$00$...ผลบวกสองหลักท้ายก็หาจาก $1!+2!+3!+...+9!$)

15.สมมุติว่า $1\times2\times3...2010\times2011=14^n\times A$ เมื่อ $n$ และ $A$ เป็นจำนวนนับ(จำนวนเต็มบวก).จงหาค่ามากที่สุดของ $n$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

6.ถ้า $70,98$ และ $143$ ถูกหารด้วยจำนวนเต็มบวกค่าหนึ่งแล้วผลรวมของเศษที่เหลือจากการหารเท่ากับ $29$ จงหารจำนวนเต็มบวกจำนวนนี้

ข้อนี้ไม่น่าใช้เวลาแยะ

ผลรวมเศษ 3 ตัวเท่ากับ 29 ก็แปลว่า

ถ้าหารด้วย 10 จะเหลือเศษได้มากที่สุด 9 รวมกันเท่ากับ 27

ดังนั้นจำนวนนั้่นต้องมากกว่า 10

เริ่มไล่จาก 11, 12, ...

พบว่า .....









...มึนนนนน....

เดี๋ยวมาต่อ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

13.มาเรียกำลังเตรียมตัวสำหรับการแข่งขัน$PO LEUNG KUK$ ในระหว่างช่วงพัก มาเรียเขียนตัวหนังสือเหล่านี้ลงบนหัวกระดาษมีเส้นดังนี้
PO LEUNG KUK 14TH PMWC
ในบรรทัดต่อมาซึ่งเป็นบรรทัดแรก มาเรียสลับตัวอักษรแรกของคำไปต่อท้ายคำ ดังนี้
OP EUNGL UKK 4TH1 MWCP
จากนั้นมาเรียก็ทำแบบเดียวกันในบรรทัดที่สอง
PO UNGLE KKU TH14 WCPM
มาเรียเขียนแบบนี้ไปเรื่อย
ในบรรทัดที่เท่าไหร่ที่มาเรียกลับมาเขียนเหมือนตัวเริ่มต้น
PO LEUNG KUK 14TH PMWC

ครน ของ 2, 3, 4, 5 เท่ากับ 60

[กิตติ]

ข้อ6..เราคิดแบบนี้ได้ไหม

$70=a_1b+R_1$
$98=a_2b+R_2$
$143=a_3b+R_3$
$(a_1+a_2+a_3)b=311-29=282=2\times 141$...
$=2\times 3\times47$...$47 $เป็นจำนวนเฉพาะ
$=6(47)$

คิดผิดอีกแล้ว เพราะ 2 หาร 70 กับ 98 ลงตัว.....ปล่อยไก่อีกแล้ว

คิดใหม่ได้เท่ากับ $6$....ซึ่งก็เป็นไปไม่ได้ว่า เพราะ$1<R_1,R_2,R_3<6\rightarrow R_1+R_2+R_3<18$
น่าจะเป็น$47$ที่เป็นคำตอบ....
$70=47+23$
$98=2(47)+4$
$143=3(47)+2$....ออกแล้ว

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ6..เราคิดแบบนี้ได้ไหม

$70=a_1b+R_1$
$98=a_2b+R_2$
$143=a_3b+R_3$
$(a_1+a_2+a_3)b=311-29=282=2\times 141$...
$=2\times 3\times47$...$47 $เป็นจำนวนเฉพาะ
$=6(47)$

คิดผิดอีกแล้ว เพราะ 2 หาร 70 กับ 98 ลงตัว.....ปล่อยไก่อีกแล้ว

คิดถูกแล้วครับ เพราะ 9 < b < 70 ดังนั้น b ก็ต้องเป็น 47