>>สสวท.รอบ 2 ปี 50<<

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

ข้อสอบนี้มาจากการจดจำ (เพราะเขาไม่ให้เอาข้อสอบกลับบ้าน) อ่านโจทย์แล้วลองเดาดูนะว่า สสวท. ชั้นอะไร (ไม่เรียงข้อนะครับ นึกข้อไหนได้ก็พิมพ์ กร้ากๆ)
1. $x^2-y^2=1001$ เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็ม แล้วคู่อันดับ (x,y) ที่เป็นไปตามกำหนดทั้งหมดมีกี่จำนวน
2. จากข้อ 1 ให้ $x$ ที่มากที่สุดเป็น $x_{max}$ และให้ $x$ ที่น้อยที่สุดเป็น $x_{min}$ แล้ว $x_{max}-x_{min}$ มีค่าเท่าไร
3. (แสดงวิธีำทำให้ด้วยนะครับ) $5^4=625$ $6^3=216$
$5^5=3125$ $6^4=1296$
$5^6=15625$ $6^5=7776$
..........
..........
จงพิสูจน์ว่า $5^{k+1}>6^k$ จริง (พิสูจน์แบบเด็ก ป.6 นะ อุ๊บ!? บอกไปแหล่ว)
4. (แสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ) ทรงกลมรัศมี 10 เซนติเมตร จำนวน 3 ลูก นำมาวางในกล่องรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้พอดี ถ้าวางลูกเหล็กทรงกลมขนาดดังกล่าวลงไปอีก 1 ลูก แล้วจุดสูงสุดของลูกเหล็กที่วางทับลูกเหล็กอีก 3 ลูก สูงจากพื้นกล่องกี่เซนติเมตร
5. (แสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ) ให้สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีด้าน AB และ ฺBC เป็นด้านประกอบมุมฉาก ให้ M เป็นจุดแบ่งครึ่งด้าน AC จงแสดงวิธีหาความยาวของส่วนของเส้นตรง MB
ึ6. (แสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ)นักปลูกป่าต้องการปลูกป่า โดยต่อพื้นที่ 1 ตารางไมล์ ต้องใช้เมล็ดพืช s เมล็ด ต่อต้นไม้ 1 ต้น จะปลูกต้นไม้ t ต้น
แต่่โชคไม่ดีหว่านเมล็ดเสร็จ กระรอก c ตัว มากินเมล็ดจนหมด ถ้าเมล็ด p เมล็ด เท่ากับ 1 ปอนด์แล้ว เฉลี่ยกระรอก 1 ตัว กินเมล็ดพืชไปกี่ปอนด์
7. ปีนี้ปี 2550 ฉันเกิดในปีที่เมื่อนำ 2550 เป็นตัวตั้งลบด้วยปีที่ฉันเกิดจะได้ว่า 2 หลักสุดท้ายของผลลัพธ์ที่ได้ เหมือนกับ 2 หลักสุดท้ายของปีที่ฉันเกิด และคุณปู่เกิดในปีที่เมื่อนำ 2550 เป็นตัวตั้งลบด้วยปีที่คุณปู่เกิดจะได้ว่า 2 หลักสุดท้ายของผลลัพธ์ที่ได้ เหมือนกับ 2 หลักสุดท้ายของปีที่คุณปู่เกิด ถามว่าคุณปู่อายุกี่ปีในปีที่ฉันเกิด
8. ให้ $R=999,999,999,999,999,999,999$ แล้ว $R^2$ มีเลข 9 กี่ตัว
แค่นี้ก่อนละกันครับ เดี๋ยวไปเคาะสมองต่อว่ามีถามว่าอะไรอีกมั่ง (สอบแล้วอีก 1 สัปดาห์ให้หลังถึงมาิพิมพ์ก็เลยจำไม่ค่อยได้อ่ะครับ)
Ok! ช่วยๆๆๆๆๆกันเฉลยนะครับ ขอบคุณมั่กๆคร้าบบบบบบบ!!

[kanakon]

ข้อ 1 x,y น่าจะเป็นจำนวนเต็มด้วยนะครับไม่งั้นจะมีคู่อันดับป็นอนันต์ ส่วนข้อ 2 มาจากข้อ 1 ด้วยหรือเปล่าครับ

[bell18]

ข้อ8.ก่อนละกันง่ายดี ตอบว่ามี9ทั้งหมด20ตัวครับ
ลองสังเกตดูว่า $99^2=9801$ มีเลข9หนึ่งตัว
$999^2=998001$ มีเลข9สองตัว
$9999^2=99980001$ มีเลข9สามตัว

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ข้อ 1 x,y น่าจะเป็นจำนวนเต็มด้วยนะครับไม่งั้นจะมีคู่อันดับป็นอนันต์ ส่วนข้อ 2 มาจากข้อ 1 ด้วยหรือเปล่าครับ

โอ้วช่างรอบคอบ ใช่แล้น ข้อ 1 x กับ y เป็นจำนวนเต็มครับ ลืม (ก้อมันจำมานี่เนอะ) ส่วนข้อ 2 ก็มาจากข้อ 1 นั่นแหละ
~ ให้อภัยข้าน้อยด้วย ~

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

$\frac{(50!)^2-(49!)^2}{(50!)^2+(49!)^2}$ มีค่าเท่าใด

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

~ มาแหล่ว ~
10.วิชัยรินกาแฟเต็มแก้ว หลังจากดื่มไปได้ $\frac{1}{2}$ ของแก้วก็พบว่าจืดเกินไป จึงเติมน้ำตาลลงไปผสมกับกาแฟจนกาแฟเต็มแก้วอีกครั้งนึง (งงแมะ ประมาณว่าปริมาตรน้ำตาลเข้าไปแทนที่ปริมาตรน้ำอ่ะครับ) ดื่มไปอีก $\frac{1}{4}$ ของแก้วก็พบว่า #\$@&* เกินไป (เรื่องมากเหลือเกิน) จึงเติมนมลงไปอีกจนเต็มแก้ว
แล้ว ปริมาณของกาแฟที่วิชัยชอบ : ปริมาณของนมที่วิชัยชอบ เป็นเท่าใด
มานมีอยู่ตั้ง 55 ข้อแหนะ แต่เว้นมา 1 สัปดาห์ใครจะไปนึกออกหมดจริงมะอะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^

$\frac{(50!)^2-(49!)^2}{(50!)^2+(49!)^2}$ มีค่าเท่าใด

หารด้วย $(49!)^2$ ทั้งเศษและส่วนจะได้

$$\frac{(50!)^2-(49!)^2}{(50!)^2+(49!)^2}=\frac{50^2-1}{50^2+1}=\frac{2499}{2501}$$

[nooonuii]

8. $R=10^{21}-1$

$R^2=10^{42}-2\cdot 10^{21}+1$

$\quad = 10^{21}(10^{21}-2)+1$

$10^{21}-2=\underbrace{99\cdots 9}_{20}8 $

$10^{21}(10^{21}-2)=\underbrace{99\cdots 9}_{20}8\underbrace{00\cdots 0}_{21} $
$10^{21}(10^{21}-2)+1=\underbrace{99\cdots 9}_{20}8\underbrace{00\cdots 0}_{20}1$

ดังนั้น $R^2=\underbrace{99\cdots 9}_{20}8\underbrace{00\cdots 0}_{20}1 $

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

ทะ...ทำไมไม่ทำข้อที่ผมวงเล็บไว้ว่า (แสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ) กันบ้างเลยครับ!! อันนั้นน่ะในข้อสอบต้องแสดงวิธีทำน้าาาาาาาา--
ข้อละตั้ง 5 คะแนนแน่ะ (หรือ 10 ก็จำไม่ได้อ่ะครับ)

[nooonuii]

3. ไม่จริงครับ ให้ $k=9$ จะได้ $$5^{10}<6^9$$

[t.B.]

รูปข้างซ้ายนี้เป็นรูปมองจากด้านหน้าเข้าไปนะครับ ส่วนด้านขวาก็รูปพีรามิดที่ลากจากจุดยอดทั้ง4
จะเห็นว่า ความสูงคือ 10+10+h ดังนั้นสิ่งที่เราต้องหาก็คือค่า h
ลากศูนย์กลางวงกลมทั้ง 4 มาต่อกัน จะเป็นรูปทรงพีรามิดซึ่งจุดยอดห่างจากฐานเท่ากับระยะทาง h
ดังนั้นเราต้องหาสูงเอียง(j) และหาความยาวทั้งตั้งฉากกับความสูง(k) ก่อนจึงจะหา h ได้(ดูรูปภาพประกอบ)
หา j จากทฤษฏีบทพีทากอรัส
$j^2+10^2=20^2$
$j^2=20^2-10^2$
$j^2=400-100$
$j^2=300$
$\therefore j=10\sqrt{3} $
หา k ต่อ โดยใช้ตรีโกณกับสามเหลี่ยมที่ฐาน
$k=10\times tan30^{\circ} $ <<(ที่รู้ว่าใช้มุมที่30 เพราะสามเหลี่ยมด้านเท่ามุมแต่ละด้านคือ60 แล้วแบ่งครึ่ง ถ้าถามต่อว่ารู้ได้ไงว่าแบ่งครึ่ง ตอบว่าจุดที่ลากจากจุดยอดพีรามิดมาตั้งฉากฐานมันเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน เมื่อลากจุดศูนย์กลางมาที่จุดยอดของสามเหลี่ยมจะแบ่งครึ่งมุม คิดว่าใช่นะครับ)
$k=\frac{10}{\sqrt{3} } $
ทีนี้ก็หา h โดยใช้พีทากอรัส
$h^2+k^2=j^2$
$h^2=j^2-k^2$
$h^2=300-\frac{100}{3} $
$h^2=\frac{800}{3} $
$\therefore h=20\sqrt{\frac{2}{3} } $
ดังนั้นความสูง รวมคือ $10+10+20\sqrt{\frac{2}{3} } =...$
ปล.ผิดถูกยังไงก็แย้งได้นะครับ

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

3. ไม่จริงครับ ให้ $k=9$ จะได้ $$5^{10}<6^9$$

รู้ได้ไงอ่ะครับว่าถ้าให้ $k=9$ แล้วจะเป็นเท็จ หายังไงหรอครับ..

เอ่อคือ ผมคิดว่า $5^{10}=9,765,625$ แล้ว $6^9=10,077,696$ ไม่ใช่หรอ
ถ้างั้น $5^{10}$ ก็ต้องมากกว่า $6^9$ น่ะสิครับ (ผมใช้ Google เป็นเครื่องคิดเลขนะครับ) น้อยกว่าถูกแล้ว อ๊ากกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกกก (มาแก้ทีหลัง)
และก็ข้อ 4 ลูกเหล็กทรงกลม นั่นน่ะผมว่า มันไม่ได้ง่ายขนาดตอบว่า "40 cm" หรอก แต่เพื่อนผมตอบไปอย่างงั้นหมดเลย
ผมเว้นไว้ไม่ได้ทำ เพราะผมว่ามันไม่ง่ายขนาดนั้น
อ่ะมาอีกข้อนึงนะฮับ
คน m คน ทำงานเสร็จ t วัน
คน s คน ทำงานเสร็จในกี่วัน
ไปและเดี๋ยวมาต่อนะคร้าบบบบ...

[nongtum]

ข้อ 1 + 2
เพราะ $1001=7\times11\times13$ จากตารางจะมีคู่อันดับ $(x,y)$ แปดชุด และ $x_{max}-x_{min}=501-45=456$
$\qquad\begin{array}{rrrr}
x+y & x-y & x & y\\
1& 1001 & 501 & -500\\
7& 143 & 75 & -68\\
11& 91 & 51 & -40\\
13& 77 &45 & -32\\
77& 13 &45 & 32\\
91& 11 & 51 & 40\\
143 & 7 & 75 & 68\\
1001& 1 & 501 & 500\\
\end{array}$

3. จะว่าไปก็แปลกดี จากอสมการ $(k+1)\log5\le k\log6$ จะได้ $k\ge(\frac{\log5}{\log6-\log5})\approx8.83$
แต่กว่ามันจะมากกว่าจริงก็ที่ k=10 โน่น
หมายเหตุ $6^{10}=60466176,\ 5^{11}=48828125$

5. ลาก $MD\perp BC$ ที่ $D$ โดยสามเหลี่ยมคล้ายจะพบว่า $MD=\frac12AB,\ BD=\frac12BC$ ที่เหลือก็ใช้พีทากอรัสครับ

6. ค่อยๆเทียบไตรยางค์ ดังนี้ (เข้าใจว่าโจทย์หมายถึงให้ปลูกในพื้นที่หนึ่งตารางไมล์)
1 ต้น ใช้ s เม็ด ดังนั้น t ต้น ใช้ ts เม็ด
p เม็ดหนัก 1 ปอนด์ ดังนั้น ts เม็ด หนัก ts/p ปอนด์
มีกระรอก c ตัว ดังนั้นได้กินตัวละ ts/pc ปอนด์

7. ข้อนี้อาจต้องใช้สมมติฐานว่าปู่เกิดในช่วงปี 2400-2499 และหลานเกิดหลังจากนั้น ทั้งปู่ทั้งหลานอายุไม่เกินหนึ่งร้อยปี ดังนี้
สมมติว่าหลานอายุ ab ปี ปู่อายุ cd ปี(เมื่อ a,b,c,d เป็นเลขโดดที่เขียนในฐานสิบ)
จาก 2550 - 25ab = ab และ 2550 - 24cd = cd จะพบว่า 50 = 2ab, 150 = 2cd นั่นคือ ab = 25, cd = 75
ปู่จึงมีอายุ 50 ปีตอนที่ฉันเกิด

10. สมมติว่าเดิมดื่มกาแฟล้วน ดื่มไปครึ่งแก้วแล้วจึงเติมน้ำตาล ตอนนี้มีกาแฟและน้ำตาลอย่างละ 1/2 แก้ว
ดื่มไปอีก 1/4 แก้ว ก่อนเติมนม ตอนนี้จะมีกาแฟและนมเหลืออย่างละ $(1-\frac14)\times\frac12=\frac38$ แก้ว
ดังนั้น ปริมาณของกาแฟที่วิชัยชอบ : ปริมาณของนมที่วิชัยชอบ = $\frac38 : \frac14$ = 3 : 2

ข้อที่ถามใน #12
คน m คน ทำงานเสร็จใน t วัน
คน 1 คน ทำงานเสร็จใน mt วัน
คน s คน ทำงานเสร็จใน mt/s วัน

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

เก่งจาง อย่าบอกนะว่าอยู่ ป.6 (ตกใจ)
แล้วก็ ข้อ 1 อ่ะครับที่ $x^2-y^2=1001$ อ่ะ ตอนสอบมีช้อยส์ว่า 1) 2 2)3 3)4 4)5 อ่ะครับ
สง กะ สัย ว่า ผมจะลืมคำว่า "$x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก$" ไปนะครับ (ถ้า $x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก$ จริงๆก็จะมี 4 ชุดใช่มั้ยครับ)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^

เอ่อคือ ผมคิดว่า $5^{10}=9,765,625$ แล้ว $6^9=10,077,696$ ไม่ใช่หรอ
ถ้างั้น $5^{10}$ ก็ต้องมากกว่า $6^9$ น่ะสิครับ

ดูให้ดีครับว่าอันไหนมากกว่า