PEMIC 2009

[กิตติ]

ในบล็อกของPEMIC......เขาแจกข้อสอบพร้อมเฉลยด้วย
PEMIC

[กิตติ]

3. Philip arranged the number 1, 2, 3, ... , 11, 12 into six pairs so that the sum of the numbers in any pair is prime and no two of these primes are equal. Find the largest of these primes.

3.ฟิลิปนำจำนวนตั้งแต่1ถึง12มาจับคู่กันทั้งหมด 6คู่โดยให้ผลบวกของแต่ละคู่เป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ซ้ำกันเลย จงหาว่าจำนวนเฉพาะที่เกิดจากการจับคู่นี้มีค่ามากที่สุดเท่ากับเท่าไหร่

[กิตติ]

ข้อ4...ผมฝากน้องคนรักคณิตช่วยตัดรูปแปะให้หน่อยครับ

ข้อ4.จากรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่แรเงาเท่ากับ$\frac{3}{4}$ของพื้นที่สี่เหลี่ยมใหญ่ และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กมีพื้นที่แรเงาเป็น$\frac{5}{7} $ของพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็ก อยากทราบอัตราส่วนระหว่างพื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก

[กิตติ]

5. Observe the sequence 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … . Starting from the third number, each number is the sum of the two previous numbers. What is the remainder when the 2009th number in this sequence is divided by 8?

5.มีลำดับ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … สังเกตว่า ตั้งแต่ตัวเลขลำดับที่3เป็นต้นไป เกิดจากการนำลำดับสองลำดับก่อนมาบวกกัน อยากทราบว่าตัวเลขที่อยู่ในลำดับที่ 2009 เมื่อถูกหารด้วย 8แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

[กิตติ]

6. Ampang Street has no more than 15 houses, numbered 1, 2, 3 and so on. Mrs. Lau lives in one of the houses, but not in the first house. The product of all the house numbers before Mrs. Lau’s house, is the same as that of the house numbers after her house. How many houses are on Ampang Street?

6.บนถนนอัมพาง มีบ้านอยู่ไม่เกิน 15 หลังโดยมีหมายเลข 1,2,3,... นางลัวอาศัยอยู่ในย่านถนนอัมพางโดยที่นางลัวไม่ได้อาศัยในบ้านหลังแรก.เมื่อนำหมายเลขของบ้านที่อยู่ก่อนถึงบ้านคุณลัวมาคูณกันมีค่าเท่ ากับผลคูณของหมายเลขบ้านที่อยู่ถัดจากคุณลัว มีบ้านกี่หลังที่อยู่บนถนนอัมพาง

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

6. Ampang Street has no more than 15 houses, numbered 1, 2, 3 and so on. Mrs. Lau lives in one of the houses, but not in the first house. The product of all the house numbers before Mrs. Lau’s house, is the same as that of the house numbers after her house. How many houses are on Ampang Street?

6.บนถนนอัมพาง มีบ้านอยู่ไม่เกิน 15 หลังโดยมีหมายเลข 1,2,3,... นางลัวอาศัยอยู่ในย่านถนนอัมพางโดยที่นางลัวไม่ได้อาศัยในบ้านหลังแรก.เมื่อนำหมายเลขของบ้านที่อยู่ก่อนถึงบ้านคุณลัวมาคูณกันมีค่าเท่ ากับผลคูณของหมายเลขบ้านที่อยู่ถัดจากคุณลัว มีบ้านกี่หลังที่อยู่บนถนนอัมพาง

จากรูป บ้านนังลั๊วะ น่าจะอยู่ระหว่าง บ้านที่ 6 กับ บ้านที่ 9

เพราะด้านซ้ายคูณกันลงท้ายด้วย ศูนย์ ( 2 x 5) ด้านขวาก็ต้องมี ศูนย์ (x10)

ถ้าบ้านนังลั๊วะอยู่หลังที่ 6 ผลคูณด้านซ้ายจะเป็น 1x2x3x4x5 = 120 แต่ด้านขวา คูณกันไม่มี 120

ถ้าบ้านนังลั๊วะอยู่หลังที่ 7 ผลคูณด้านซ้ายจะเป็น 1x2x3x4x5x6 = 720 และด้านขวา คูณกัน 8 x 9 x 10 = 720

ดังนั้นบ้านนังลั๊วะอยู่หลังที่ 7 มีบ้านทั้งหมด 10 หลัง

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

3. Philip arranged the number 1, 2, 3, ... , 11, 12 into six pairs so that the sum of the numbers in any pair is prime and no two of these primes are equal. Find the largest of these primes.

3.ฟิลิปนำจำนวนตั้งแต่1ถึง12มาจับคู่กันทั้งหมด 6คู่โดยให้ผลบวกของแต่ละคู่เป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ซ้ำกันเลย จงหาว่าจำนวนเฉพาะที่เกิดจากการจับคู่นี้มีค่ามากที่สุดเท่ากับเท่าไหร่

11+12 = 23

10+9 = 19

8+5 = 13

7+4 =11

6+1 = 7

2+3= 5

ตอบ 23

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ4...ผมฝากน้องคนรักคณิตช่วยตัดรูปแปะให้หน่อยครับ

ข้อ4.จากรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่แรเงาเท่ากับ$\frac{3}{4}$ของพื้นที่สี่เหลี่ยมใหญ่ และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กมีพื้นที่แรเงาเป็น$\frac{5}{7} $ของพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็ก อยากทราบอัตราส่วนระหว่างพื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก

จัตุรัสใหญ่ มีพื้นที่ $x$ ตารางหน่วย

จัตุรัสเล็กมีพื้นที่ $y$ ตารางหน่วย



พื้นที่ที่แหว่งหายไป (สีเหลือง) $= \frac{2}{7}y = \frac{1}{4}x$

$7x = 8y$



$\frac{พื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่}{พื้นที่แรเงาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก} = \dfrac{\frac{3x}{4}}{\frac{5y}{7}} = \frac{3\times 7x}{20y} =\frac{24y}{20y} = \frac{6}{5}$

[กิตติ]

ข้อ7.สามเหลี่ยม$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่มีมุม$B$เป็นมุมฉากและมีด้าน$BC$ยาวเท่ากับ 42 เซนติเมตร และด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 56 เซนติเมตร เมื่อสร้างรูปครึ่งวงกลมโดยให้ด้าน$AC$เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและสร้างรูปเสี้ยววงกลม(หนึ่งในสี่ของวงกลม)ที่ใช้$BC$เป็นรัศมี จงหาพื้นที่แรเงาตอบในรูปตารางเซนติเมตร กำหนดให้$\pi =\frac{22}{7} $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ7.สามเหลี่ยม$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่มีมุม$B$เป็นมุมฉากและมีด้าน$BC$ยาวเท่ากับ 42 เซนติเมตร และด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 56 เซนติเมตร เมื่อสร้างรูปครึ่งวงกลมโดยให้ด้าน$AC$เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและสร้างรูปเสี้ยววงกลม(หนึ่งในสี่ของวงกลม)ที่ใช้$BC$เป็นรัศมี จงหาพื้นที่แรเงาตอบในรูปตารางเซนติเมตร กำหนดให้$\pi =\frac{22}{7} $

HINT ตามรูปครับ

[กิตติ]

8. A number consists of three different digits. If the difference between the largest and the smallest numbers obtained by rearranging these three digits is equal to the original number, what is the original three-digit number?

ข้อ8.จำนวนหนึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่างกันสามตัวเลข(คงจะบอกอ้อมๆว่าเป็นตัวเลขสามหลัก) เมื่อทำการสลับตำแหน่งตัวเลขแล้วพบว่าจำนวนใหม่ที่เกิดขึ้นนั้น จำนวนที่มีค่ามากที่สุดมีค่ามากกว่าจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับจำนวนตั้งต้นตัวแรกพอดี จงหาว่าจำนวนตั้งต้นนั้นคือเลขอะไร

[กิตติ]

9. The last 3 digits of some perfect squares are the same and non-zero. What is the smallest possible value of such a perfect square?

ข้อ9.มีจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์ที่มีสามหลักท้ายเป็นตัวเลขเหมือนกันหมดและไม่ใช่เลขศูนย์ อยากทราบว่าจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์นี้ที่มีค่าน้อยที่สุดคือจำนวนใด?

[กิตติ]

10. Lynn is walking from town A to town B, and Mike is riding a bike from town B to town A along the same road. They started out at the same time and met 1 hour after. When Mike reaches town A, he turns around immediately. Forty minutes after they first met, he catches up with Lynn, still on her way to town B. When Mike reaches town B, he turns around immediately. Find the ratio of the distances between their third meeting point and the towns A and B.

ข้อ10.ลินน์เดินจากเมืองAไปเมืองBและไมค์ขี่จักรยานจากเมืองBไปเมืองA บนถนนเส้นทางเดียวกันและเริ่มดินทางพร้อมกัน ลินน์และไมค์พบกันหลังจากเริ่มเดินทางได้หนึ่งชั่วโมง เมื่อไมค์ขี่จักรยานถึงเมืองAแล้วขี่กลับทันที.หลังจากพบกันครั้งแรกแล้ว 40 นาที ไมค์ก็พบลินน์อีกครั้งโดยที่ลินน์ยังเดินทางไปเมืองBอยู่.ถ้าไมค์ขี่จักรยานมาถึงเมืองBแล้วขี่กลับทันที จงหาว่าอัตราส่วนของระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองAและระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองB

แก้โจทย์ครับ..รีบแปลเลยแปลผิดเนื้อความ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

8. A number consists of three different digits. If the difference between the largest and the smallest numbers obtained by rearranging these three digits is equal to the original number, what is the original three-digit number?

ข้อ8.จำนวนหนึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่างกันสามตัวเลข(คงจะบอกอ้อมๆว่าเป็นตัวเลขสามหลัก) เมื่อทำการสลับตำแหน่งตัวเลขแล้วพบว่าจำนวนใหม่ที่เกิดขึ้นนั้น จำนวนที่มีค่ามากที่สุดมีค่ามากกว่าจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับจำนวนตั้งต้นตัวแรกพอดี จงหาว่าจำนวนตั้งต้นนั้นคือเลขอะไร

$9 5 4_ -$
$4 5 9$
-------
$4 9 5$

จำนวนตั้งต้นนั้นคือเลข $4 9 5$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

9. The last 3 digits of some perfect squares are the same and non-zero. What is the smallest possible value of such a perfect square?

ข้อ9.มีจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์ที่มีสามหลักท้ายเป็นตัวเลขเหมือนกันหมดและไม่ใช่เลขศูนย์ อยากทราบว่าจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์นี้ที่มีค่าน้อยที่สุดคือจำนวนใด?

$38\times 38 = 1444$