PEMIC 2009

[กิตติ]

ข้อ11.ตามรูปที่กำหนดมาให้ จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งห้ารูปเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมและวงกลมมีรัศมี 1 เซนติเมตรเท่ากัน จงหาพื้นที่แรเงาทั้งหมดว่าเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

10. Lynn is walking from town A to town B, and Mike is riding a bike from town B to town A along the same road. They started out at the same time and met 1 hour after. When Mike reaches town A, he turns around immediately. Forty minutes after they first met, he catches up with Lynn, still on her way to town B. When Mike reaches town B, he turns around immediately. Find the ratio of the distances between their third meeting point and the towns A and B.

ข้อ10.ลินน์เดินจากเมืองAไปเมืองBและไมค์ขี่จักรยานจากเมืองBไปเมืองA บนถนนเส้นทางเดียวกันและเริ่มดินทางพร้อมกัน ลินน์และไมค์พบกันหลังจากเริ่มเดินทางได้หนึ่งชั่วโมง เมื่อไมค์ขี่จักรยานถึงเมืองAแล้วขี่กลับทันที.หลังจากพบกันครั้งแรกแล้ว 40 นาที ไมค์ก็พบลินน์อีกครั้งโดยที่ลินน์ยังเดินทางไปเมืองBอยู่.ถ้าไมค์ขี่จักรยานมาถึงเมืองBแล้วขี่กลับทันที จงหาว่าอัตราส่วนของระยะทางที่ไมค์จะพบลินน์เป็นครั้งที่สามต่อระยะทางระหว่างเมืองทั้งสอง

ใส่รูปไว้ก่อน เดี๋ยวหาวิธีทำแบบประถมๆ




มาลองแบบประถมดู ไม่รู้เด็กจะเข้าใจไหม วันนี้เด็กๆไปสอบ สพฐ นานาชาติ รอบสองกัน เลยยังไม่ได้ติว


จากรูป


ให้คนเดิน เดินด้วยความเร็ว 1 หน่วยต่อนาที มาถึงจุด C ได้ระยะทาง 60 หน่วย

เราจะเริ่มต้นกันที่จุด C
คนเดิน เดินจากจุด C ไปจุด Dได้ระยะทาง 40 หน่วย (40 นาที)(เส้นสีน้ำเงิน)
คนปั่นจักรยาน ปั่นจากจุด C ไปจุด A แล้ววกมาจุด D ได้ระยะทาง 60+60+40 = 160 หน่วย (เส้นสีแดง)
ในเวลาที่เท่ากัน (40 นาที) คนเดิน เดินได้ 40 หน่วย คนปั่น ปั่นได้ 160 หน่วย นั่นแปลว่า คนปั่น ปั่นเร็วกว่าคนเดิน 4 เท่า
จากข้อมูลนี้ทำให้เราทราบว่า ระยะทาง จาก B ถึง C (ปั่น 60 นาที) เท่ากับ 4x60 = 240 หน่วย (A ถึง B เท่ากับ 300 หน่วย)


คราวนี้มาดูรูปที่ 2




คนเดิน เดินต่อจากจุด D มาถึงจุด E ได้ระยะทาง x หน่วย
ในขณะที่คนปั่น ปั่นจาก D มา B (ระยะทาง 200 หน่วย) แล้ววกกลับถึงจุด E เป็นระยะทาง 200 - x หน่วย รวมระยะทาง 400-x หน่วย

ทั้งสองใช้เวลาเท่ากัน ใช้สูตร ระยะทาง= เวลา x ความเร็ว จะได้

$ x = \frac{400-x}{4} \ \ \ $ (เร็วกว่า 4 เท่า ก็ต้องเอา 4 หาร, เวลาจึงจะเท่ากัน)

$x = 80$

จะได้ $ BE = 120 , \ \ AE = 300 - 120 = 180$

$AE : EB = 3 : 2$

ไม่รู้เด็กประถมจะเข้าใจไหม

[กิตติ]

13.There are 10 steps from the ground level to the top of a platform. The 6th step is under repair and can only be crossed over but not stepped on. Michael walks up the steps with one or two steps only at a time. How many different ways can he use to walk up to the top of the platform?

ข้อ13.จากพื้นขึ้นไปสู่ชานชลามีบันไดใช้เดินขึ้นทั้งหมด 10 ขั้นและช่วงนี้บันไดขั้นที่หกชำรุดต้องซ่อมแซม ทำให้ไม่สามารถก้าวขึ้นบนบันไดขั้นนี้ได้แต่สามารถเดินก้าวข้ามผ่านไปได้.ไมเคิลเดินขึ้นบันได้ได้เพียงหนึ่งหรือสองขั้นเท่านั้น จงหาว่าไมเคิลจะเดินขึ้นบันไดไปถึงบนชานชลาได้ทั้งหมดกี่วิธี

[กิตติ]

14.For four different positive integers a, b, c and d, where a < b < c < d, if the product (d – c) × (c – b) × (b – a) is divisible by 2009, then we call this group of four integers a “friendly group”. How many “friendly groups” are there from 1 to 60?

ข้อ14.มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสี่จำนวนคือ$a,b,c และd$ โดยที่$a < b < c < d$. ถ้าผลคูณของ$(d – c) × (c – b) × (b – a) $หารด้วย2009ลงตัว.เราเรียกกลุ่มตัวเลขทั้งสี่จำนวนนี้ว่า"กลุ่มพันธมิตร".ระหว่างเลข1ถึง60มีจำนวน"กลุ่มพันธมิตร"กี่กลุ่ม

[กิตติ]

ข้อ15.มีแผนภาพวงกลมตามที่แสดงโดยมีวงกลมห้าวงแต่ละวงคือ$A,B,CและD$ ต้องการระบายสีลงในวงกลมแต่ละวงด้วยสีที่ไม่ซ้ำกันโดยที่วงกลมสองวงที่เชื่อมกันด้วยเส้นตรงนั้นต้องระบายด้วยสีที่ต่างกัน ถ้ามีสีให้เลือระบายได้เพียง 5 สี จงหาว่ามีจำนวนวิธีในการระบายสีลงบนแผนภาพตามเงื่อนไขข้างต้นทั้งหมดกี่วิธี
แก้โจทย์ครับ.....แก้ตรงตัวแดงครับ กลับมาดูอีกทีแล้วต้องแก้จริงๆ

[กิตติ]

ผมน่าจะแปลโจทย์ครบแล้ว...ถ้ามีคนช่วยเฉลยจนหมดแล้ว ผมจะแปลวิธีการคิดที่เขาแนบมาในเอกสาร ว่าเหมือนหรือแตกต่างจากที่ช่วยกันเฉลยยังไง ถือว่าเป็นการเรียนรู้วิธีมองและแก้โจทย์
ขอบคุณคุณอาBankerมากเลยครับ....บอร์ดนี้สนุกและน่าเข้ามา เพราะคุณอาBankerช่วยแปะวิธีคิดให้หลานๆน้องๆได้ศึกษา นับถือในน้ำใจและความเสียสละ เพราะสิ่งที่ทำนั้นไม่มีใครบังคับและไม่มีรางวัลอะไรเลย.....จากใจจริงครับ

[กิตติ]

แก้โจทย์ข้อ10ใหม่ครับ..คุณอาBanker ผมแปลตกหล่น...ขออภัยในความสะเพร่า
ข้อ10...ผมคิดได้3:2 ใช้การสมมุติตัวแปรเอา ซึ่งเด็กประถมอาจเข้าใจยาก....ลองคิดวิธีอธิบายที่ง่ายกว่าดีกว่า

[กิตติ]

ข้อ14.มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสี่จำนวนคือ$a,b,c และd$ โดยที่$a < b < c < d$. ถ้าผลคูณของ$(d – c) × (c – b) × (b – a) $หารด้วย2009ลงตัว.เราเรียกกลุ่มตัวเลขทั้งสี่จำนวนนี้ว่า"กลุ่มพันธมิตร".ระหว่างเลข1ถึง60มีจำนวน"กลุ่มพันธมิตร"กี่กลุ่ม

ลองแยกตัวประกอบของ$2009$ออกมาก่อนจะได้ว่า$2009=7\times 7\times 41$ ซึ่งตัวประกอบนี้จะแปลงไปเป็น$(d – c) × (c – b) × (b – a) $ซึ่งบอกถึงระยะห่างระหว่างตัวเลขที่ต้องการหา ดังนั้นระยะห่างมากที่สุดจากตัวมากที่สุดถึงตัวน้อยที่สุดคือ$7+7+41 = 55$ ดังนั้นโจทย์บอกว่าผลคูณดังกล่าวหารด้วย $2009$ลงตัว คำว่าลงตัวคือได้ผลลัพธ์เป็น$1,2,3,...$ ซึ่งโจทย์กำหนดให้หาชุดตัวเลขที่อยู่ระหว่าง $1-60$ ถ้าผลหารนั้นเป็น 2 แสดงว่าผลคูณดังกล่าวจะเท่ากับ$2\times7\times7\times41$ ซึ่ง 2ต้องถูกนำไปคูณกับเลขตัวอื่นเพื่อให้คงไว้เป็นการคูณของจำนวนสามจำนวน ก็จะได้ชุดตัวเลขว่าคือ$(7,14,41)$ กับ$(7,7,81)$ ซึ่งทั้งสองกรณีเป็นไปไม่ได้เพราะโจทย์กำหนดแค่ระหว่าง$1-60$ ผลต่างระหว่างตัวมากสุดกับน้อยสุดเกิน60...สรุปคือ ผลคูณของสามจำนวนนี้ต้องเท่ากับ 2009 เท่านั้น
เริ่มจากเลข 60 เป็นตัวมากสุดจะได้ชุดตัวเลขดังนี้คือ
$(5,46,53,60),(5,12,53,60),(5,12,19,60)$
ถ้าจำนวนมากที่สุดคือ 55 จะเกิดชุดตัวเลขไม่ได้เพราะ ตัวที่น้อยที่สุดคือ 0 ซึ่งไม่มีในโจทย์ที่กำหนด
ดังนั้นตัวเลขมากที่สุดที่เป็นไปได้คือค่า$d$ คือ 56,57,58,59และ60 ทั้งหมด 5 จำนวนแต่ละจำนวนทำให้เกิดชุดตัวเลขได้3ชุด.....รวมแล้วได้ทั้งหมด 15 ชุดตัวเลข

[กิตติ]

ข้อ10.ลินน์เดินจากเมืองAไปเมืองBและไมค์ขี่จักรยานจากเมืองBไปเมืองA บนถนนเส้นทางเดียวกันและเริ่มดินทางพร้อมกัน ลินน์และไมค์พบกันหลังจากเริ่มเดินทางได้หนึ่งชั่วโมง เมื่อไมค์ขี่จักรยานถึงเมืองAแล้วขี่กลับทันที.หลังจากพบกันครั้งแรกแล้ว 40 นาที ไมค์ก็พบลินน์อีกครั้งโดยที่ลินน์ยังเดินทางไปเมืองBอยู่.ถ้าไมค์ขี่จักรยานมาถึงเมืองBแล้วขี่กลับทันที จงหาว่าอัตราส่วนของระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองAและระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองB

ลองคิดแบบสมมุติตัวแปร สมมุติให้ลินน์เดินด้วยความเร็ว$u$ กม./ชม.และไมค์ขี่จักรยานด้วยความเร็ว$v$ กม./ชม. เวลาที่ใช้มีหน่วยเป็นชั่วโมง ดังนั้น 40 นาทีคือ$\frac{2}{3} $ของชั่วโมง
ในการพบกันครั้งที่สอง ไมค์ขี่ได้ระยะทางเท่ากับ$u+u+\frac{2}{3}u = \frac{8}{3} u $
ระยะทาง =ความเร็วxเวลา จะได้ว่า $\frac{8}{3} u = \frac{2}{3}v $ ดังนั้น $ v =4u$
ในการพบกันรอบสาม ลินน์เดินไปได้ไกลห่างจากจุดพบกันครั้งที่สองเท่ากับ $ut$ ส่วนไมค์ขี่ได้ระยะทางเท่ากับ$(v-\frac{2}{3}u )+(v-\frac{2}{3}u )-ut = vt$, แทน$ v =4u$ ลงในสมการ
$(4u-\frac{2}{3}u )+(4u-\frac{2}{3}u )-ut = 4ut$
$\frac{20}{3}u = 5ut$
$t = \frac{4}{3} $ ชั่วโมง

อัตราส่วนของระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองAและระยะห่างของตำแหน่งที่พบกันครั้งที่สามกับเมืองB
= $\frac{u+\frac{2}{3}u+\frac{4}{3}u }{4u-\frac{2}{3}u-\frac{4}{3}u } $
= $\frac{3u}{2u}$
= $\frac{3}{2}$

เขียนไว้ก่อนกลัวลืมครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

แก้โจทย์ข้อ10ใหม่ครับ..คุณอาBanker ผมแปลตกหล่น...ขออภัยในความสะเพร่า
ข้อ10...ผมคิดได้3:2 ใช้การสมมุติตัวแปรเอา ซึ่งเด็กประถมอาจเข้าใจยาก....ลองคิดวิธีอธิบายที่ง่ายกว่าดีกว่า

แบบเด็กประถม ตาม reply ข้างบน ที่มาเพิ่มเติมวันนี้ ไม่ทราบพอจะใช้ได้ไหมครับ
(แปลว่า เด็กจะเข้าใจไหม)

[กิตติ]

ลองนั่งคิดอีกทีตอนเช้า....ในการพบกันรอบสองนั้น ไมค์ขี่จักรยานไล่หลังมาทันหลังจากถึงเมืองA ดังนั้นในเวลา 60+40 คือ100 นาที ไมค์ขี่จักรยานได้ระยะทางมากกว่าลินน์เท่ากับระยะทางระหว่างเมืองAถึงเมืองB เท่ากับผลบวกของความเร็วของไมค์กับลินน์
ถ้าพิจารณาจากหลังการสวนกันครั้งแรก ระยะทางที่ไมค์ทำได้ใน40นาทีนั้นมากกว่าของลินน์เท่ากับ 2เท่าของระยะจากจุดแรกที่พบกันถึงเมืองA(ระยะจากจุดแรกที่พบกันถึงเมืองAเท่ากับความเร็วของลินน์ คือ $u$) ระยะทางที่เกิดขึ้นมาจากความเร็วของไมค์ที่มากกว่าลินน์ จะได้ว่าในเวลา$\frac{2}{3} $ชั่วโมง ไมค์ทำระยะทางได้มากกว่าคือ $2u$ ดังนั้นในเวลา1ชั่วโมงจะทำได้ระยะทางมากกว่า เท่ากับ $2u\times\frac{3}{2} =3u $ ดังนั้นความเร็วของไมค์เท่ากับ$3u+u=4u$
หาเวลาในการพบกันครั้งที่สาม สมมุติให้การพบกันในครั้งที่สามเป็นการสวนกัน(ถ้าสมมุติผิด ตัวเลขที่ได้จะฟ้องออกมาเอง ไม่ต้องคิดมาก)แสดงว่าไมค์ขี่จักรยานไปกลับได้1รอบแล้ว จากที่เรารู้ว่าระยะทางของเมืองAถึงเมืองBเท่ากับผลบวกของความเร็วทั้งสอง ดังนั้นระยะทางเท่ากับ$4u+u=5u$ ในการขี่จักรยานไปกลับ 1 รอบไมค์ใช้เวลา $\frac{5u+5u}{4u} =2.5$ชั่วโมง ใช้เวลาตรงนี้ไปคิดว่าลินน์เดินมาถึงตรงไหน ลินน์เดินทางมาถึงครึ่งทางระหว่างเมือง แสดงว่าเมื่อไมค์ถึงเมืองB ลินน์กำลังเดินมาถึงครึ่งทางเหลืออีกครึ่งทางคือ$2.5u$ สัดส่วนของระยะทางที่จะมาเจอกันนั้นคือแบ่งไปตามอัตราส่วนความเร็วเพราะใช้เวลาเคลื่อนที่เท่ากัน ดังนั้นระยะทาง$2.5u $ถูกแบ่งเป็นห้าส่วนโดยลินน์ได้ไปหนึ่งส่วน ไมคค์ได้ไป4ส่วน ดังนั้นระยะทางที่ลินน์อยู่นั้นห่างจากเมืองAเท่ากับ$\frac{5u}{2}+(\frac{5u}{2}\times \frac{1}{5} )$ $\rightarrow $ $\frac{5u}{2}+\frac{u}{2}$ $\rightarrow $ $3u$ จะได้ว่าระยะทางที่เหลือจากจุดที่ลินน์ยืนไปยังเมืองBเท่ากับ $5u-3u=2u$ จะได้อัตราส่วนเท่ากับ $\frac{3u}{2u} $......ตอบว่า$3:2$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ11.ตามรูปที่กำหนดมาให้


จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งห้ารูปเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมและวงกลมมีรัศมี 1 เซนติเมตรเท่ากัน จงหาพื้นที่แรเงาทั้งหมดว่าเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

หิน HINT

ตามรูป หาพื้นที่แรเงา ในรูป องศา
โดยใช้ความรู้เรื่อง มุมภายในสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา





ตอบ $ 2 \pi \ $ หรือ $ \ \frac{44}{7}$ ตารางหน่วย

[กิตติ]

วิธีของคุณอาbankerน่าสนใจครับ เพราะถ้าสมมุติตัวแปร เด็กๆอาจงง การกำหนดให้ความเร็วของการเดินเป็น 1 กม./ชม.ช่วยให้เด็กคำนวณได้เลย ผมว่าน่าจะอธิบายให้เด็กเข้าใจได้ง่ายที่สุดแล้ว เป็นผมก็จะใช้วิธีนี้ แต่ลืมทุกที มันชินกับการสมมุติตัวแปร จนลืมว่าเด็กประถมยังไม่คุ้นเหมือนผม

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

15.

ข้อ15.มีแผนภาพวงกลมตามที่แสดงโดยมีวงกลมห้าวงแต่ละวงคือA;B;CและD ต้องการระบายสีลงในวงกลมแต่ละวงด้วยสีที่ไม่ซ้ำกันและส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างวงกลมสองวงนั้นต้องระบายด้วยสีที่ไม่ซ้ำกับสีของว งกลมสองวง(ที่ส่วนของเส้นตรงนั้นเชื่อมอยู่) ถ้ามีสีให้เลือระบายได้เพียง 5 สี จงหาว่ามีจำนวนวิธีในการระบายสีลงบนแผนภาพตามเงื่อนไขข้างต้นทั้งหมดกี่วิธี

คอมบิท ไม่ถนัด

ข้อนี้ไม่แน่ใจนะครับ



A วางได้ 3 ตำแหน่งดังรูป

แต่ละตำแหน่งวางได้ 4+3+2+1 = 10 แบบ

ดังนั้นจึงระบายสีได้ทั้งหมด 30 แบบ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ7.สามเหลี่ยม$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่มีมุม$B$เป็นมุมฉากและมีด้าน$BC$ยาวเท่ากับ 42 เซนติเมตร และด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 56 เซนติเมตร เมื่อสร้างรูปครึ่งวงกลมโดยให้ด้าน$AC$เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและสร้างรูปเสี้ยววงกลม(หนึ่งในสี่ของวงกลม)ที่ใช้$BC$เป็นรัศมี จงหาพื้นที่แรเงาตอบในรูปตารางเซนติเมตร กำหนดให้$\pi =\frac{22}{7} $

$AC^2=42^2+56^2$

$AC= 70$

$P+N = \frac{1}{2}\times \frac{22}{7} \times 35^2 = 1925$ .....(*)

$M+N = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 42^2 = 1386$ .....(*)

$M+Q = \frac{1}{2} \times42 \times56 = 1176$ .....(*)

(*)+(***) $ \ \ (P+Q)+(M+N) = 1925+1176=3101$

$ \ \ (P+Q)+(1386) =3101$

$ \ \ (P+Q) = 1715$