ร่วมเฉลยปัญหามุมนักคิดใน pratabong

[-SIL-]

พี่ทำแบบซอยช่วงเอาอ่ะครับ เป็น 5 ช่วงคือ $[0,\frac{1}{8}),[\frac{1}{8},\frac{1}{6}),...,[\frac{1}{2},1)$
กำหนดให้ $y=[2x]+[4x]+[6x]+[8x]$
นั่นคือ ทุก $x \in [n,n+1)$ จะมี $x$ ที่ให้ y อยู่ 5 ค่า (ขอเรียกว่า 1 ช่วงแล้วกัน)
และได้ว่า $x\in[\frac{1}{8},50\frac{1}{8})$ นั่นคือ มี $x$ อยู่ $49$ ช่วง คือ $[1,50)$ และนับกรณีที่เหลือจะได้ว่า
มี x อยู่ 250 ตัวครับ (อันบนเอามาผิดบรรทัด )
ปล. พลาดตรงไหนชี้แนะด้วยก็ดีครับ

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

ปล2. AIME นี่คือการแข่งขันอะไรครับ

American Invitational Mathematics Examination

[Siren-Of-Step]

ช่วยเฉลยหน่อยครับ
1.
(1)จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1$
(2) จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-z^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1 $,$ 0 \leqslant z \leqslant 1$

2. จงหาจำนวนเต็มบวกแรก และจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ยกกำลังสอง ลงท้ายด้วย $444$
และพิสูจน์ว่า ไม่มีกำลังสองของจำนวนใดลงท้ายด้วย $4444$

ref: มุมนักคิดที่ 46 ปัญหาที่ 136/2549 - 138/2549

[poper]

ข้อ 1 ทำแบบนี้รึป่าวครับ
$0\leqslant x^2y\leqslant 1$
$0\leqslant y^2x\leqslant 1$
$-1\leqslant -y^2x\leqslant 0$
$\therefore -1\leqslant x^2y-y^2x\leqslant 1$
ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $-1$
ด้วยวิธีเดียวกันข้อ 2 ตอบ $-3$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

2. จงหาจำนวนเต็มบวกแรก และจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ยกกำลังสอง ลงท้ายด้วย $444$
และพิสูจน์ว่า ไม่มีกำลังสองของจำนวนใดลงท้ายด้วย $4444$

ตรงที่ให้พิสูจน์ พิจารณา mod 16 ครับ แล้วจะพบว่าเกิดข้อขัดแย้ง ถ้าลงท้ายด้วย 4444

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อ 1 ทำแบบนี้รึป่าวครับ
$0\leqslant x^2y\leqslant 1$
$0\leqslant y^2x\leqslant 1$
$-1\leqslant -y^2x\leqslant 0$
$\therefore -1\leqslant x^2y-y^2x\leqslant 1$
ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $-1$
ด้วยวิธีเดียวกันข้อ 2 ตอบ $-3$

อยากรู้การเกิดขึ้นของค่าต่ำสุดด้วยครับ บางทีมันอาจไม่ hold ก็ได้

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

อยากรู้การเกิดขึ้นของค่าต่ำสุดด้วยครับ บางทีมันอาจไม่ hold ก็ได้

ถ้าเราใช้ช่วง $-1\leqslant -y^2x\leqslant 0$
แสดงว่า $x^2y-y^2x=x^2y+(-y^2x)$
ดังนั้นค่าต่ำสุดจะเกิดจากการนำค่าต่ำสุดของทั้ง 2 ช่วงนั้นบวกกันครับ

[Siren-Of-Step]

คือ เราอยากรู้ว่า ค่าต่ำสุดของการบวกกัน เกิดขึ้น เมื่อ x,y เป็นเท่าใด

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ช่วยเฉลยหน่อยครับ

(1)จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1$

คำตอบคือ $-\frac{1}{4} $ เมื่อ $(x,y) =(\frac{1}{2},1) $

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

คำตอบคือ $-\frac{1}{4} $ เมื่อ $(x,y) =(\frac{1}{2},1) $

Hint หน่อยครับ เทพหยินหยางได้โปรด เอาแบบจริงๆจังๆครับ

[หยินหยาง]

ผมว่าผมตอบแต่ละครั้งก็แฝงด้วยจริงจังนะครับ
hint มองให้เป็นสมการกำลังสองและหาค่า x, y ที่ทำให้เกิดจุดต่ำสุด

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมว่าผมตอบแต่ละครั้งก็แฝงด้วยจริงจังนะครับ
hint มองให้เป็นสมการกำลังสองและหาค่า x, y ที่ทำให้เกิดจุดต่ำสุด

อ้อ ขอบคุณมากครับ
ผมทำผิดไปครับลืมไปว่ามันเป็น 2 ตัวแปร

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1.
(1)จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1$

เพิ่งเห็นว่าคุณหยินหยางให้ Hint ไว้แล้ว งั้นขอเสนออีกวิธีครับ

สังเกตว่าถ้า $x\geq y$ จะได้ $xy(x-y)\geq 0$

สมมติว่า $x\leq y$ จะได้

$xy(y-x)\leq x(y-x)$

$~~~~~~~~~~~~\leq \Big(\dfrac{x+y-x}{2}\Big)^2$ จากอสมการ AM-GM

$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{y^2}{4}$

$~~~~~~~~~~~~\leq \dfrac{1}{4}$

ดังนั้น $xy(x-y)\geq -\dfrac{1}{4}$

สมการเป็นจริงเมื่อ $x=\dfrac{1}{2},y=1$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

(2) จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-z^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1 $,$ 0 \leqslant z \leqslant 1$

ข้อนี้ก็เอาข้อ (1) มาช่วย

ทำให้ดูกรณีเดียวนะครับ อีกสองกรณีลองทำตามก็จะได้คำตอบ

สมมติว่า $x\geq y,z$ (อีกสองกรณีคือ $y\geq x,z$ และ $z\geq x,y$)

จะได้

$xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=y[x(x-y)+z(y-z)]+zx(z-x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=y(x-z)(x-y+z)+zx(z-x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\geq zx(z-x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\geq -\dfrac{1}{4}$

สมการเป็นจริงเมื่อ $(x,y,z)=(1,0,\frac{1}{2})$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ตรงที่ให้พิสูจน์ พิจารณา mod 16 ครับ แล้วจะพบว่าเกิดข้อขัดแย้ง ถ้าลงท้ายด้วย 4444

ทำแบบนี้ได้รึุเปล่า

เพราะว่า ไม่มีจำนวนจริงใด ๆ ที่ $x^2 \equiv 12 \pmod{16}$
แต่ว่า $4444 \equiv 12 \pmod{16}$

เกิดข้อขัดแย้ง