1ข้อจาก 4th posn final round

[jabza]

8.$ถ้าx_1,x_2,x_3,....x_{84} เป็นรากทั้งหมดของสมการ x^{84} + 7x - 6 = 0 แล้วจงหาค่าของ\sum_{k = 1}^{84} \frac{x_k}{x_k -1} $

พี่nooonuii ได้เฉลยอย่างคร่าวๆไว้ว่า

8. สมการ $\displaystyle{\Big(\frac{1}{x}+1\Big)^{84}+7\Big(\frac{1}{x}+1\Big)-6=0 \Rightarrow 2x^{84}+91x^{83}+\cdots + 1 = 0}$

จะมี $\dfrac{1}{x_k-1},k=1,...,84$ เป็นราก
ดังนั้น $$\sum_{k=1}^{84}\frac{x_k}{x_k-1}=\sum_{k=1}^{84}\Big(1+\frac{1}{x_k-1}\Big)=84+\sum_{k=1}^{84}\frac{1}{x_k-1}=84-\frac{91}{2}=\frac{77}{2}$$


ตรงที่สีแดงไม่เข้าใจอ่าคับ โปรดช่วยอธิบายเพิ่มขึ้นอีกซักนิดด

[-InnoXenT-]

ลองแทนค่า $x = \frac{1}{x_k-1}$ ลงในสมการข้างล่างดู

$\displaystyle{\Big(\frac{1}{x}+1\Big)^{84}+7\Big(\frac{1}{x}+1\Big)-6=0}$

จะได้ว่า $x_k^{84}+7x_k-6 = 0$ ทุกค่าของ $k = 1,....,84$

[jabza]

โอเคคับ พอจะเก็ทขึ้นมาละ ขอบคุณมากคับ

ไม่งั้นก้อใช้อีกวิธีให้y = x+1 อันนี้ เจ๋งสุดๆ เพิ่งไปขุดเจอมา