มาลองทำโจทย์จาก2008IWYMIC

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตอบ $3$ ครับ แต่ยังไม่เฉลยละกัน เผื่อไว้ให้เด็กสอวน. มาโชว์ฝีมือกัน

คือผมทำได้แค่ว่า $x^2 > 2$ เท่านั้นอะครับ

วิธีคิดของผม

from cauchy-schwarz
$xy+yz+zx \leqslant x^2+y^2+z^2$
$xy+zx \leqslant y^2+z^2$
เนื่องจาก $x,y,z \in \mathbb{R} - \left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $
และ $x^2 = yz > 0$ เราจะได้ $2yz >0$
$xy+zx < y^2+2yz+z^2 = (y+z)^2$
โดย $y+z \not= 0$ เพราะว่า $yz > 0$
$x < y+z$

สมการตั้งต้นที่โจทย์กำหนด $x^4 = xy+yz+zx > x^2+x^2 = 2x^2$
$x^2 > 2$

[กิตติ]

3.กำหนดให้$x,y$และ$z$เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ$0$ โดยมีความสัมพันธ์กันตามสมการนี้
$x^2=yz$ และ $x^4=xy+yz+xz$
จงหาว่าค่า$x^2$มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับเท่าไหร่

ผมว่าแค่ $AM-GM-HM$ ก็ออกแล้ว
$x^4=xy+x^2+xz$
$x^4-x^2=x(y+z)$....$x \not=0$
$y+z=x^3-x$
$x+y+z=x^3$..........*
$x^3=x(x^2)=xyz$...........**
$x^4=xy+yz+xz=xyz(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} )=x^3(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} )$
$x=(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} )$........***

$\dfrac{x+y+z}{3} \geqslant \sqrt[3]{xyz}\geqslant \dfrac{3}{\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z}} $
จากนั้นเอา$*,**,***$ มาลงจะได้

$\dfrac{x^3}{3} \geqslant x\geqslant \frac{3}{x} $
ทีนี้จะเลือกท่อนไหนมาทำก็ได้
$\dfrac{x^3}{3} \geqslant x$ หรือ $x\geqslant \frac{3}{x} $
สุดท้ายจะได้สมการ$x^3-3x\geqslant 0$
$x(x^2-3)\geqslant 0$...เนื่องจาก$x \not = 0$
จะได้ว่า $x^2-3\geqslant 0 \rightarrow x^2>3$

ค่าที่น้อยที่สุดของ$x^2$ คือ $3$

แก้ไขใหม่.....ต้องเริ่มจาก
$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3} \geqslant \sqrt[3]{(xyz)^2} $
$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=x^6-2x^4$ ......****
จากนั้นเอา $****$ มาแทนจะได้
$x^6-2x^4-3x^2 \geqslant 0$
$x^2(x^4-2x^2-3)\geqslant 0$
$x^2(x^2-3)(x^2+1) \geqslant 0$
เนื่องจาก $x \not =0 \rightarrow x^2>0$ และ $x^2+1 >0$
เหลือ $(x^2-3)\geqslant 0$
จะได้ว่า $x^2\geqslant 3$

[Amankris]

#47
ข้อจำกัดของอสมการสำเร็จรูปพวกนี้คือ ใช้ได้แค่บนบางช่วงเท่านั้น

ในที่นี้คือ AM-GM ใช้ได้บนจำนวนจริงบวกเท่านั้น

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณAmankris
กลับมาดูแล้วลืมไปว่า $x,y,z \in R-\left\{\,0\right\} $ ซึ่งใช้$AM-GM$ ไม่ได้
แต่ถ้าเป็น$x^2,y^2,z^2$.....ใช้ได้
ปล่อยไก่ตัวเบอเร้อเลย...กลับเล้าได้แล้วลูกๆๆๆๆ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โ
7.มีสามเหลี่ยม$ABC$ตามรูป $AB$ยาวเท่ากับ$\frac{5}{2} $ และ$AC$ยาวเท่ากับ$\sqrt{3} $,$ \angle CAD=\angle DCB =30^{\circ} $ จงหาพื้นที่ของ$\triangle DCB$

ลาก CE ตั้งฉาก AB

สามเหลี่ยม ACE จะได้ CE = $\frac{\sqrt{3} }{2}, \ \ AE = 1.5 $

สามเหลี่ยม BCE โดยปิธากอรัส จะได้ BC = $\frac{\sqrt{7} }{2}$

สามเหลี่ยม ACD คล้ายสามเหลี่ยม BCD (มมม)

โดยสามเหลี่ยมคล้ายและปิธอกอรัส จะได้ BD = 3.5

พื้นที่สามเหลี่ยม DCB = $\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3} }{2} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{8} \sqrt{3} \ $ตารางหน่วย

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

8.สามเหลี่ยม$ABC$มีด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 12 และ$D$เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน$BC$
$AE = 4 EC$ เมื่อลาก$ED$ออกไปจนตัดกับเส้นที่ลากต่อมาจาก$AB$ที่จุด$F$ จงหาความยาวของ$BF$

ใช้เมเนเลาส์แก้ก็ไวมากเลยนะครับ ข้อนี้
จะได้ $ \frac{12+BF}{BF} *\frac{1}{1} *\frac{1}{4} =1$
12+BF=4BF
12=3BF
BF=4