Algebraic function (Not polynomial or rational functions)

[B บ ....]

รบกวนขอตัวอย่าง algebraic function ที่ไม่ใช่ polynomials และ rational fuctions (ใน complex plane นะครับ definition อยู่ทางด้านล่าง) (เนื่องจากฟังก์ชันที่รู้จักเกือบหมด $\log , e^x, \sin x, cos x, a^x$ เป็น trancesdental หมดเลย เลยนึกที่ไม่ใช่พหุนาม กับ rational functions ไม่ออกครับ)

Definition : Let $f$ be a function defined on a nonempty domain $D \subseteq \mathbb{C}$. We say that $f$ is an "algebraic function" if there exists a nonconstant complex polynomial $F=F(z,w)$ (in two variables) such that $F(z,f(z)) = 0$ for all $z \in D.$ Otherwise, $f$ is called transcendental.

Note : According to this definition, complex exponential $e^z$ is certainly transcesdental. It likely to be the same for $\cos z, \sin z, \log z, w^z.$

[nooonuii]

$f(z)=\sqrt{z}$ on open unit disk.

เลือก $F(z,w) = w^2-z$ ครับ

วิธีมอง algebraic function ง่ายๆคือ ฟังก์ชันที่เกิดจากการดำเนินการ บวก ลบ คูณ หาร ถอดราก ของตัวแปรครับ

[B บ ....]

ขอบคุณมากครับ ขอถามอะไรนิดหน่อยครับ คือสับสันเล็กน้อย ปกติถ้าตาม algebra นิยาม polynomial ก็ตาม polynomial ring คือ $$a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + ... + a_1z + a_0 \in R[z]$$ if $a_i \in R$ for all $i$ where $R$ is a ring and $a_n \neq 0$,$ n \in \mathbb{N}_0.$

ซึ่งทางอลจิบร้าดูพวก root กับพวกแยกตัวประกอบ จึงเป็นการแทน $z$ ด้วยค่าคงที่ แต่ทาง analysis บางทีก็เห็นแทน $z = w^{\frac{1}{2}}$ เป็นต้น ซึ่งทำให้สิง่ที่ได้มีกำลังเป้นเศษส่วน เลยอยากลองถามว่า $f(z) = z^\frac{1}{2}$ มันไม่ใช่พหุนามใช่มั้ยครับ (คือ ดูตามนิยามทาง algebra ก็คงไม่ใช่ ส่วนนิยามของ polynomial ทาง analysis นี่ ไม่ค่อยเคยเห็น)

อาจจะเป็นคำถามแปลกๆ โง่ๆไปนิด นะคราบบบบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

ขอบคุณมากครับ ขอถามอะไรนิดหน่อยครับ คือสับสันเล็กน้อย ปกติถ้าตาม algebra นิยาม polynomial ก็ตาม polynomial ring คือ $$a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + ... + a_1z + a_0 \in R[z]$$ if $a_i \in R$ for all $i$ where $R$ is a ring and $a_n \neq 0$,$ n \in \mathbb{N}_0.$

ซึ่งทางอลจิบร้าดูพวก root กับพวกแยกตัวประกอบ จึงเป็นการแทน $z$ ด้วยค่าคงที่ แต่ทาง analysis บางทีก็เห็นแทน $z = w^{\frac{1}{2}}$ เป็นต้น ซึ่งทำให้สิง่ที่ได้มีกำลังเป้นเศษส่วน เลยอยากลองถามว่า $f(z) = z^\frac{1}{2}$ มันไม่ใช่พหุนามใช่มั้ยครับ (คือ ดูตามนิยามทาง algebra ก็คงไม่ใช่ ส่วนนิยามของ polynomial ทาง analysis นี่ ไม่ค่อยเคยเห็น)

อาจจะเป็นคำถามแปลกๆ โง่ๆไปนิด นะคราบบบบ

ไม่ใช่พหุนามครับ มันก็มีที่อยู่ของมันแล้วคือเป็น Algebraic function น่ะครับ