Complex Arctan function

[B บ ....]

ติดโจทย์ทาง Complex Analysis อีกแล้วครับ

In complex plane, define $\textbf{principal branch}$ inverse function of $\tan (z)$, denoted by $\arctan z$, by $$\frac{-\pi}{2} < \mbox{Re}(\arctan(z))\leq \frac{\pi}{2} .$$ (นั่นคือ $\arctan$ ที่ใช้เป็น principal branch ทั้งหมด)

1. Let $g(z) = f(\tan z)$. Show that $g'(z) = 1$ for all $z$ in some domain $D$. Then describe $D$.

ตอนนี้ลองหาอนุพันธ์ของ $g$ และได้ $$1= f'(\tan(z))\sec^2 (z)$$ for all $z \in D$. ดังนั้น $f'(\tan(z)) = \cos^2 (z)$ ทำให้ได้ว่า $f'(z) = \cos^2 (\arctan(z)).$
ไม่แน่ใจว่าจะไปยังไงต่อ ครับ

จากนั้นยังมีคำถามต่อจากข้อนี้อีก 3 ข้อ


2. Conclude that $f(z) = \arctan (z)$ for $|z| < 1.$
3. Why does the Taylor series for $\arctan$ at the origin not converge in a disc larger than $|z| < 1 ?$
4. Show that $\arctan(1)$ is given by $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}$$

พอมีคำแนะนำบ้างมั้ยครับ ตอนนี้ข้อ 2 ยังไมไ่ด้เพราะติดข้อ 1 ส่วนข้อ 3 เดาว่าคงเกี่ยวกับการขยายฟังก์ชันวิเคราะห์ (Extension of analyticity, Analytic continuation) ซึ่งยังงงๆครับ

[nooonuii]

1. $f$ คืออะไรครับ

[FranceZii Siriseth]

ช่วยก็ 4 นะครับ
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} =\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+....$$
$$=\int_{0}^{1}1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+...dx$$
$$=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx $$
$$=arctan(1)$$

[B บ ....]

ขออภัยครับ ผมก็ยัง งงๆ โจทย์ คือต้องท้าวความนิดนึงว่ามันเหมือนโจทย์ย่อยๆ a), b), c), ..., e), f), g) and h) ครับ(คำสั่งก็แค่ verify the statement/answer questions ไม่ได้บอกว่าทุกข้เกี่ยวเนื่องกัน นึกว่าเป้นข้อแยกๆกัน) ซึ่งข้อ a) - b) มันต่อเนื่องกัน พอมา c) - d) มันต่างไป คือไม่ค่อยเกี่ยวกับ a), b) ก็เลยเข้าใจว่ามันเป็นชุดย่อยๆ ที่ไ่มเกี่ยวข้องกัน พอมาถึงที่ผมถามคือ e) - h) ผมก็งงครับ ว่ามี $g$ มี $f$ โดยไม่นิยามซักอย่าง จะทำไงว้าาาา พอคุณ @noonuii ถามก็เพิ่งมาอ่านทวนข้อ b) ครับ สงสัย $f$ คือ
$$f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}$$ on $|z|<1$ such that $f(0) = 0$ and $f'(z) = \frac{1}{1+z^2}$ ครับ ขออภัยครับ นึกว่าข้อย่อย a), b) มันจบไปแล้ว ละมันก็ห่างกันกับ e)-h) เลยไม่ได้นึกถึง ... ตอนนี้ถ้ารู้ $f$ อาจจะพอคิดออก(มั้ง)ครับ แต่ยังไงถ้ามีคนช่วยแนะนำก็ดีครับ เผื่อออกไวขึ้น และวิธีสั้นลง ขอบคุณครับ

[B บ ....]

ข้อ 1 ได้แล้วครับ ไม่แน่ใจข้อ 2 ว่า ใช้ข้อ 1 ยังไงว่า $f(z) = \arctan(z)$ for $|z| < 1$.

ตอนนี้มีข้อมูลทั้งหมด ดังนี้ นะครับ เรารู้ว่า There exists a holomorphic function $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}$$ on $|z| < 1$ such that $$f(0) = 0, f'(z) = \frac{1}{1+z^2}.$$ We know that principal branch of $\arctan (z)$ and $$\arctan(z) = \frac{1}{2i} \mbox{Log} \frac{1+zi}{1-iz}$$
where Log is the principal branch of complex logarithm.