โจทย์จำนวนเชิงซ้อน...หาค่าน้อยที่สุดของขนาด

[กิตติ]

ได้โจทย์มาจากเพจคณิตม.ปลาย

กำหนดให้ $A=\left\{\,z\left|\,\right. \left|\,z-1\right|+\left|\,z+5\right| =10 \right\} $
จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $\left|\,z-8-21i\right| $

[cfcadet]

ยากจังเลยครับ
รบกวนวิธีทำด้วยครับ

[Love math]

$ \sqrt{466} $

[Aquila]

ผมยังไม่ได้คิดจริงๆจังๆ แนะว่าแค่ลองมองเป็นกราฟดูครับ

สมมติว่าถ้า $z$ ไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อนละครับ (ยุบแกน y ทิ้งไปเลย)

โจทย์มันจะกลายเป็น $|x-1|+|x+5|=10$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนจริง

หาค่า $x$ ที่ทำให้ $|x-8|$ น้อยสุดหมายความว่า $x$ ต้องอยู่ชิดกับ 8 มากสุด

โจทย์ดูง่ายขึ้นเลยใช่มั้ย

เพราะงั้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ มันก็แค่เป็นการต่อแกน y เพิ่มขึ้นมา

สรุปว่า ลองมองเป็นกราฟดูครับ

[กิตติ]

$ \left|\,z-1\right|+\left|\,z+5\right| =10 $
เป็นกราฟวงรีบนระนาบเชิงซ้อน ที่มีจุดศูนย์กลางคือ $(-2,0)$ และจุดโฟกัสคือ $(-5,0)$ กับ $(1,0)$
ระยะแกนเอกคือ $5$ ระยะโฟกัสคือ $3$
$\left|\,z-8-21i\right| $ คือระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังจุด $(8,21)$
ลองแทนจุด $(8,21)$ ลงในสมการเพื่อดูว่าอยู่ในหรือนอกวงรี
$\left|\,(8+21i)-1\right|+\left|\,(8+21i)+5\right| =\sqrt{7^2+21^2}+\sqrt{13^2+21^2} $
$=7\sqrt{10}+\sqrt{610} $
อยู่นอกวงรี
เช็คจุดตัดแกนตั้งกับแกนนอน
จุดตัดแกนนอนคือ $(a,0)$
$\left|\,a-1\right|+\left|\,a+5\right|=10 $
ได้ $a=3$
จุดตัดแกนตั้งคือ $(0,b)$
$\left|\,bi-1\right|+\left|\,bi+5\right|=10 $
$\sqrt{1+b^2}+\sqrt{25+b^2} =10$
$\sqrt{25+b^2} =10-\sqrt{1+b^2}$
$25+b^2=100-2\sqrt{1+b^2}+1+b^2$
$76-2\sqrt{1+b^2}=0$
$\sqrt{1+b^2}=38$
$b^2=38^2-1=1443$
$b=\pm \sqrt{1443} $

กำลังมึนได้จุดตัดบนQ1แล้ว ดันลืมไปว่าวงรี ไม่ใช่วงกลม

[Aquila]

สรุปว่าได้คำตอบหรือยัง ?

(ไม่ใช่ $\sqrt{466}$ แน่นอนครับ )

ที่ผมบอกว่าไม่ใช่คำตอบนั้นแน่นอน

ลองสังเกตดูว่าจุด $(-2,4)$ อยู่บนวงรี (อยู่ใน $A$ ด้วย)

ซึ่งจุดนี้ห่างจากจุด $(8,21)$ เป็นระยะ $\sqrt{389}$

น้อยกว่า $\sqrt{466}$ เห็นๆ

ถามว่า 389 น้อยสุดหรือยัง

ถ้ายังต้องหาให้ได้ว่าจุดไหนบนวงรีที่ทำให้เกิดระยะน้อยสุด

ลองหาสมการวงรีออกมาให้ได้ก่อนครับ อาจจะทำได้อะไรต่อได้

หลังจากนั้นมันก็เรื่องของแต่ละคนแล้วละ ว่าจะใช้เครื่องมืออะไรมาหาค่าน้อยสุด

อาจจะเป็นเรขาคณิตวิเคราะห์ ม.ปลาย แคลคูลัส ม.ปลาย หรือ Lagrange Multiplier

ก็แล้วแต่เลยครับ

[กิตติ]

ยังนึกไม่ออกครับ เดี๋ยวลองไปหาที่มีคนเฉลยก่อนครับ เก็บไว้จนหาไม่เจอเลยครับ

[กิตติ]

เจอแล้วครับเฉลย ใช้แคลคูลัสด้วย
ตอบ $\frac{\sqrt{34} }{5} $

[Aquila]

ในเฉลยมันมีประเด็นที่ผมอยากจะให้คนที่ตั้งใจคิดข้อนี้

คิดออกได้ด้วยตัวเองน่ะครับ

ว่าเงื่อนไขอะไรที่ทำให้เกิดระยะน้อยสุด

เพราะโจทย์มันเป็นโจทย์เรขาคณิตมากกว่าที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน

จริงๆมันสามารถพิสูจน์ได้ด้วยนะครับ

ว่าจุดที่ทำให้เกิดมุมฉากบนเส้นสัมผัสจะทำให้เกิดค่าน้อยสุด