ถาม intregrate หน่อยครับ

[aesthetic]

$ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^4-1}} $

ช่วยคิดหน่อยครับ

[-SIL-]

มองคร่าวๆ ลองคูณด้วย $\frac{x}{x}$ ดูครับ

[calfever]

For the integrand 1/(x*(x^4-1)^(1/2)), ให้ u = x^4 and du = 4 x^3 dx:
= 1/4 *integral 1/((u-1)^(1/2) u) du

For the integrand 1/((u-1)^(1/2) u), ให้ s = u-1 and ds = du:
= 1/4 *integral 1/((s)^(1/2) (s+1)) ds

For the integrand 1/((s)(1/2) (s+1)), ให้ p = (s)^(1/2) and dp = 1/(2*(s)^(1/2)) ds:
= 1/2 *integral 1/(p^2+1) dp

The integral of 1/(p^2+1) is tan^(-1)(p):
= 1/2 *tan^(-1)(p)+constant

แทนค่าคืน โดย p = (s)^(1/2):
= 1/2 *tan^(-1)((s)^(1/2))+constant
แทนค่าคืน โดย s = u-1:
= 1/2 *tan^(-1)((u-1)^(1/2))+constant
แทนค่าคืน โดย u = x^4:
= 1/2 *tan^(-1)((x^4-1)^(1/2))+constant

จัดรูปต่ออีกหน่อย ก็จะได้
= -1/2 *tan^(-1)(1/(x^4-1)^(1/2))+constant

[khlongez]

ให้ $ u = x^2 $
จะได้ $dx = \frac{1}{2\sqrt{u}}du $

แทนค่าลงในโจทย์

$$\int_{}^{}\,\frac{dx}{x\sqrt{x^4-1} }\quad
=\quad
\frac{1}{2} \int_{}^{}\,\frac{du}{u\sqrt{u^2-1} } $$

$$\quad\quad\quad\quad\quad\quad
= \quad
\frac{1}{2}arcsec(u) + c $$

$$\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\quad \frac{1}{2}arcsec(x^2) + c $$