โจทย์สอวน.

[artty60]

ให้$\frac{a}{b}=\frac{(100^3-1)(101^3-1)}{(101^3+1)(102^3+1)}$

โดยที่$a,b\in \mathbf{I+} $และ$\,\left(\,a,b\right.\left.\,\right) =1 $

จงหาค่าของ$a+b$

[Metamorphosis]

Hint: ดูว่าก้อนด้านบน มี อะไรที่เหมือนกับก้อนด้านล่างบ้าง ดูได้จากเอกลักษณ์ $a^3+b^3 , a^3-b^3$

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ให้$\frac{a}{b}=\frac{(100^3-1)(101^3-1)}{(101^3+1)(102^3+1)}$

โดยที่$a,b\in \mathbf{I+} $และ$\,\left(\,a,b\right.\left.\,\right) =1 $

จงหาค่าของ$a+b$

ตอบ 3401 ครับ

จาก$\frac{a}{b}=\frac{(100^3-1)(101^3-1)}{(101^3+1)(102^3+1)}$

$=\frac{(100-1)(100^2+100+1)(101-1)(101^2+101+1)}{(101+1)(101^2-101+1)(102+1)(102^2-102+1)}$

เเละ $100^2+100+1=101^2-101+1,101^2+101+1=102^2-102+1$

$=\frac{99x100}{102x103}$

$=\frac{9900}{10506}$

$=\frac{1650}{1751}$

ดังนั้น 1650+1751=3401

[cardinopolynomial]

ใครมีวิธีดีกว่านี้เสนอมาด้วยครับ

[artty60]

กำหนดให้$A=111....111$ จำนวน$2n$ตัว

และ$B=222....222$ จำนวน$n$ตัว

จงหาผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ข้างล่างนี้

$\sqrt{A-B} $ โดยที่$n$เป็นจำนวนคี่

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

กำหนดให้$A=111....111$ จำนวน$2n$ตัว

และ$B=222....222$ จำนวน$n$ตัว

จงหาผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ข้างล่างนี้

$\sqrt{A-B} $ โดยที่$n$เป็นจำนวนคี่

ถ้า n = 1 จะได้

$\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{11- 2} = \sqrt{9} = 3 \ \ \ \ $
(สังเกต n = 1 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 1 ตัว)



ถ้า n = 3 จะได้

$\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{111111- 222} = \sqrt{111(1001-2)}
= \sqrt{111(9 \times 111)}= 333 \ \ \ \ $
(สังเกต n = 3 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 3 ตัว )
ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3


ถ้า n = 5 จะได้

$\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{1111111111- 22222} = \sqrt{11111(100001-2)}
= \sqrt{11111(9 \times 11111)}= 33333 \ \ \ \ $
(สังเกต n = 5 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 5 ตัว)
ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3


ดังนั้น ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3 เสมอ

[artty60]

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ถ้า n = 1 จะได้

$\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{11- 2} = \sqrt{9} = 3 \ \ \ \ $
(สังเกต n = 1 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 1 ตัว)



ถ้า n = 3 จะได้

$\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{111111- 222} = \sqrt{111(1001-2)}
= \sqrt{111(9 \times 111)}= 333 \ \ \ \ $
(สังเกต n = 3 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 3 ตัว )
ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3


ถ้า n = 5 จะได้

$\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{1111111111- 22222} = \sqrt{11111(100001-2)}
= \sqrt{11111(9 \times 11111)}= 33333 \ \ \ \ $
(สังเกต n = 5 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 5 ตัว)
ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3


ดังนั้น ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3 เสมอ

ขอบคุณครับ

[artty60]

หรืออีกวิธี

$9A=999...999=(10^{2n}-1)............(1)$

$\frac{9}{2}B=99...99=(10^n-1)$

$9B=2(10^n-1)..............(2)$

$(1)-(2),9(A-B)=[(10^n)^2-2(10^n)+1]$

$9(A-B)=(10^n-1)^2$

$\sqrt{A-B}=\frac{10^n-1}{3}$

$333...333$จำนวน$n$ตัว ซึ่ง$\,n\,$เป็นเลขคี่

จำนวน3ตำแหน่งเลขคี่มีมากกว่าตำแหน่งเลขคู่อยู่1ตัว จึงตอบ$3$ครับ