ขอคำแนะนำเรื่อง Induction หน่อยครับ

[warutT]

ขอรบกวนท่านผู้รู้หน่อยนะครับ
อยากขอคำแนะนำในการ induction กับข้อความที่ใช้คำว่า "ไม่" เช่น หารไม่ลงตัวอะไรประมาณนี้ครับ
เช่น จงพิสูจน์ว่า $1^{1987}+2^{1987}+...+n^{1987}$ หารด้วย $n+2$ ไม่ลงตัวทุก $n \in N$
เราจะสามารถใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ในการแก้ปัณหานี้ได้อย่างไรครับ
รบกวนด้วยครับ

[หยินหยาง]

ไม่ได้เขามาตอบครับ เพียงแต่จะมาบอกว่าถ้าตัวเลขยกกำลังเป็น 2009 แล้วละก็ จะเป็นข้อสอบทฤษฎีจำนวน สอวน. ค่าย 1 ปีนี้เลยครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ขอรบกวนท่านผู้รู้หน่อยนะครับ
อยากขอคำแนะนำในการ induction กับข้อความที่ใช้คำว่า "ไม่" เช่น หารไม่ลงตัวอะไรประมาณนี้ครับ
เช่น จงพิสูจน์ว่า $1^{1987}+2^{1987}+...+n^{1987}$ หารด้วย $n+2$ ไม่ลงตัวทุก $n \in N$
เราจะสามารถใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ในการแก้ปัณหานี้ได้อย่างไรครับ
รบกวนด้วยครับ

ปกติ เท่าที่นึกออก ถ้าเจออย่างนี้ บางครั้งผมก็ไม่ใช้ Induction แต่คำว่า "ไม่" ก็คงไม่ได้แปลว่าจะใช้ Induction ไม่ได้ ก็คือว่า เช่น สมมติว่า "$a$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์" ก็แสดงว่า $a\equiv 2,3\pmod{4}$ เป็นต้น ซึ่งก็อาจจะใช้ตรงนี้ในการ Induction ได้

แต่เท่าที่นึกออกตอนนี้ ข้อที่ยกตัวอย่างมา ผมไม่ได้ใช้ Induction ในการพิสูจน์
วิธีทำคร่าวๆก็ประมาณ

นี้ครับ

เห็นได้ว่า $n^{1987}\equiv -2^{1987}\pmod{n+2}$
$(n-1)^{1987}\equiv -3^{1987}\pmod{n+2}$
ไปเรื่อยๆ ก็แยกเป็น $2$ กรณี ตาม parity ของ $n$
i)$n$ เป็นคี่ ได้ว่า $1^{1987}+\cdots+n^{1987}\equiv 1^{1987}+(2^{1987}+n^{1987})+\cdots+((\frac{n-1}{2})^{1987}+(\frac{n+1}{2})^{1987})\equiv 1\not\equiv 0\pmod{n+2}$
ii)$n$ เป็นคู่ $1^{1987}+\cdots+n^{1987}\equiv 1^{1987}+(2^{1987}+n^{1987})+\cdots+((\frac{n}{2})^{1987}+(\frac{n}{2}+2)^{1987})+(\frac{n}{2}+1)^{1987}\equiv 1+(\frac{n}{2}+1)^{1987}\pmod{n+2}$
แต่จาก $\frac{n}{2}+1=\frac{n+2}{2}|(n+2)$
$\therefore$ หาก $(n+2)|1^{1987}+\cdots+n^{1987}$ ได้ว่า $\frac{n+2}{2}|1+(\frac{n}{2}+1)^{1987}$ นั่นคือ $\frac{n+2}{2}|1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะ $\frac{n+2}{2}>1$
จากทั้งสองกรณี สรุปได้ว่าสิ่งที่ต้องพิสูจน์เป็นจริงตามต้องการ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ปกติ เท่าที่นึกออก ถ้าเจออย่างนี้ บางครั้งผมก็ไม่ใช้ Induction แต่คำว่า "ไม่" ก็คงไม่ได้แปลว่าจะใช้ Induction ไม่ได้ ก็คือว่า เช่น สมมติว่า "$a$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์" ก็แสดงว่า $a\equiv 2,3\pmod{4}$ เป็นต้น ซึ่งก็อาจจะใช้ตรงนี้ในการ Induction ได้

แต่เท่าที่นึกออกตอนนี้ ข้อที่ยกตัวอย่างมา ผมไม่ได้ใช้ Induction ในการพิสูจน์
วิธีทำคร่าวๆก็ประมาณ

นี้ครับ

เห็นได้ว่า $n^{1987}\equiv -2^{1987}\pmod{n+2}$
$(n-1)^{1987}\equiv -3^{1987}\pmod{n+2}$
ไปเรื่อยๆ ก็แยกเป็น $2$ กรณี ตาม parity ของ $n$
i)$n$ เป็นคี่ ได้ว่า $1^{1987}+\cdots+n^{1987}\equiv 1^{1987}+(2^{1987}+n^{1987})+\cdots+((\frac{n-1}{2})^{1987}+(\frac{n+1}{2})^{1987})\equiv 1\not\equiv 0\pmod{n+2}$
ii)$n$ เป็นคู่ $1^{1987}+\cdots+n^{1987}\equiv 1^{1987}+(2^{1987}+n^{1987})+\cdots+((\frac{n}{2})^{1987}+(\frac{n}{2}+2)^{1987})+(\frac{n}{2}+1)^{1987}\equiv 1+(\frac{n}{2}+1)^{1987}\pmod{n+2}$
แต่จาก $\frac{n}{2}+1=\frac{n+2}{2}|(n+2)$
$\therefore$ หาก $(n+2)|1^{1987}+\cdots+n^{1987}$ ได้ว่า $\frac{n+2}{2}|1+(\frac{n}{2}+1)^{1987}$ นั่นคือ $\frac{n+2}{2}|1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะ $\frac{n+2}{2}>1$
จากทั้งสองกรณี สรุปได้ว่าสิ่งที่ต้องพิสูจน์เป็นจริงตามต้องการ

ขอบคุณครับ เป็นวิธีที่เยี่ยมยอดและคาดไม่ถึงจริงๆครับ