เฉลยหนังสือ สอวน."อสมการและสมการเชิงฟังก์ชัน" (ส่วนที่ 2 สมการเชิงฟังก์ชัน)

[Switchgear]

เพื่อให้เข้าคู่กับกระทู้ เฉลยหนังสือ สอวน. "อสมการและสมการเชิงฟังก์ชัน" (ส่วนที่ 1 อสมการ)
กระทู้นี้อยากให้ช่วยกันรวมเฉลยของส่วนที่ 2 สมการเชิงฟังก์ชัน

ผมเองก็ยังไม่คล่องนัก รบกวนพี่เซียนและน้องเซียนช่วยกันเฉลยเลยครับ :-)

หมายเหตุ:
1. แบบฝึกหัดถูกแยกอยู่ท้ายหัวข้อย่อย ไม่มีแบบฝึกหัดท้ายบทโดยเฉพาะ จึงมีแบบฝึกหัดเยอะมาก
2. ผมไม่ได้แยกกระทู้แต่ละบท ฉะนั้นผู้เฉลยช่วยระบุให้ชัดด้วยว่าเฉลยบทไหน ท้ายหัวข้อย่อยไหน และข้อที่เท่าไร
3. คงต้องช่วยกันทุกคนครับ ผมรู้ว่ากระทู้นี้สำเร็จยาก :-)

[Switchgear]

ผมจะโพสต์โจทย์ไว้เพื่อความสะดวก เผื่อว่าบางคนอาจสนใจช่วยเฉลย แต่ไม่มีตัวเล่ม (หรือเหตุผลอื่น...)

บทที่ 1: ฟังก์ชัน

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 1.1: สมบัติพื้นฐาน

1. ถ้า $f$ มีสมบัติว่า $f(x+a) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ และ $a$ เป็นค่าคงตัวที่ตรึงไว้ แล้ว
$\quad$ ฟังก์ชัน $f$ จะเป็นฟังก์ชันคาบ

2. (AMOC 1995) ให้ $f : R \rightarrow R - \{0\}$ สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x+2) = f(x-1)f(x+5) \quad (x \in R)$
$\quad$ จงพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 1.2: ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ไม่มีแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 1.3: ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็ม
ไม่มีแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 1.4: ฟังก์ชันเอซโพเนนเชียล และฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

1. จงตรวจสอบว่า ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก สอดคล้องกับเอกลักษณ์ซึ่งคล้ายกับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติดังต่อไปนี้

$\quad$ (i)$\quad\sinh (x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$

$\quad$ (ii)$\quad\cosh (x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$

$\quad$ (iii)$\quad\tanh (x+y) = \;\frac{\tanh x + \tanh y}{1+\tanh x \tanh y}$


บทที่ 2: ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสมการเชิงฟังก์ชัน

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 2.1: พื้นฐานทั่วไป
ไม่มีแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 2.2: วิธีการแก้สมการเชิงฟังก์ชัน (มี 33 ข้อ)

1. (Albanian MO 2002) จงหา $f : R - \{0\} \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x) - 3f(1/x) = 3^x \qquad (x \in R - \{0\})$

2. (Belarus MO 1992-1993) จงหา $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad xf(y) - yf(x) = (x-y)f(xy) \qquad (x, y \in R)$

3. (Belarus MO 1992-1993) จงหา $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x^2+y) = f(x) + f(y^2) \qquad (x, y \in R)$

4. (AMOC 2002) จงหา $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(2002x - f(0)) = 2002x^2 \qquad (x \in R)$

5. (Korean MO 2000) ฟังก์ชัน $f : R \rightarrow R$ สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x^2-y^2) = (x-y)(f(x) + f(y)) \qquad (x, y \in R)$

6. (AMOC 2000) จงหา $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x) + xf(1-x) = x^2 - 1 \qquad (x \in R)$

7. (South African MO) จงหา $f, g : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับคู่ของสมการเชิงฟังก์ชัน ต่อไปนี้
$\qquad \qquad f(2x+1) + 2g(2x+1) = 2x \qquad (x \in R)$
$\qquad \qquad f(x/(x-1)) + g(x/(x-1)) = x \qquad (x \in R)$

8. (South African MO 2002) จงหา $f : R_0 \rightarrow R_0$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(f(n)) = f(n) + 1 \qquad (n \in R_0)$
$\qquad$ และเซต $\;\{f(0), f(1), ...\}\;$ มีค่าต่ำสุดเป็น $1$...สมบัติพิเศษฟังก์ชัน

9. (HK MO 1987-1988) จงหา $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x)f(y) - f(xy) = x + y \qquad (x, y \in R)$

10. ให้ $\;a \not= \pm1\;$ จงหา $f : R \rightarrow R$ ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x/(x-1)) = af(x) + b(x) \qquad (x \not= 1)$
$\qquad$ เมื่อ $\;b(x)\;$ เป็นฟังก์ชันจริงที่กำหนดมาให้

11. ฟังก์ชันจริงใดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad xf(x) + 2xf(-x) = -1$

12. จงหาฟังก์ชันจริงที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x) + f(1/(1-x)) = x \qquad (x \in R-\{0,1\})$

13. จงหาฟังก์ชันจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(-x)/x + f(1/x) = x \qquad (x \in R-\{0\})$

14. (Iranian MO 2002) จงหา $f : R-\{0\} \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad xf(x+1/y) + yf(y) + y/x = yf(y+1/x) + xf(x) + x/y \qquad (x,y \in R-\{0\})$

15. (Korean MO 1979) จงหา $f : R-\{-1,1\} \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น
$\qquad \qquad f((x-3)/(x+1)) + f((3+x)/(1-x)) = x \qquad (x \not= \pm1)$

16. (Lithunia MO 2000) $f : R^+ \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น
$\qquad \qquad f(x^{2000}) = 5f(x^{-2000}) + \sin x \qquad (x \in R^+)$

17. ให้ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น
$\qquad \qquad f(x) + cf(2-x) = (x-1)^3 \qquad (x \in R)$

24. จงหา $f : R-\{0,1\} \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$\qquad \qquad f(x) + f(1/(1-x)) = 2(1-2x)/(x(1-x)) \qquad (x \in R-\{0,1\})$

25. (AMOC 2001) $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น
$\qquad \qquad f((x-y)^2) = {f(x)}^2 - 2xf(y) + y^2 \qquad (x \in R)$

32. (Jensen's functional equation) จงหา $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น
$\qquad \qquad f((x+y)/2) = (f(x)+f(y))/2$

33. (South African MO 2000) จงหาฟังก์ชันจริง $f(x)$ ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น
$\qquad \qquad f(x) + 3f(1-x) = x^2$

ข้อที่เหลือค่อยมาเพิ่มให้ครับ ... ใครเฉลยได้ก็เริ่มเลย :-)

หมายเหตุ: แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 2.3 & 2.4 ผมย้ายไปอยู่ในความเห็น #4 เพื่อให้ความเห็นนี้ไม่ยากเกินไป)

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 2. แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 2
$f(x)=a(x-1)$ เป็นคำตอบหนึ่งครับ

[Switchgear]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ข้อ 2. แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 2
$f(x)=a(x-1)$ เป็นคำตอบหนึ่งครับ

ผมมีการเปลี่ยนข้อมูลในโจทย์ ทำให้ข้อ 2 ท้ายบทที่ 2 ของคุณกระบี่เดียวดายแสวงพ่าย
กลายเป็นข้อ 2 ท้ายหัวข้อที่ 2.4 แทน

ตอนนี้การกำหนดหัวข้อและลำดับข้อต่างๆ เข้าที่แล้ว คิดว่าคงอ้างอิงสะดวกขึ้น
และผมจะทยอยเพิ่มโจทย์เรื่อยๆ (ตามเวลาที่เอื้ออำนวย :-))

ดูเหมือนกระทู้นี้จะมีหาคนร่วมเฉลยได้ยาก ... เทียบกับกระทู้อสมการที่เปิดคู่กัน
ส่วนตัวแล้ว ผมเองก็สับสนโจทย์สมการเชิงฟังก์ชันน่าดูเหมือนกัน

มาดูโจทย์กันต่อดีกว่า ...

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 2.3: สมการเชิงฟังก์ชันของโคชี (มี 10 ข้อ)
จะมาโพสต์เพิ่มทีหลัง ...

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 2.4: สมการเชิงฟังก์ชันของเดอเลมเบอร์ต (มี 4 ข้อ)

1. จงหาฟังก์ชัน $f, g, h : R \rightarrow R\;$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า ทุกจำนวนจริง $x, y$ ใดๆ $\;f(x+y) = f(x)g(y) + h(y)$

2. จงหาฟังก์ชัน $f : R \rightarrow R\;$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า $\;f(x+y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(xy+1)$

3. จงหาฟังก์ชัน $f, g, h : R \rightarrow R\;$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า ทุกจำนวนจริง $x, y$ ใดๆ $\;f(x+y) + g(x-y) = 2h(x) + 2h(y)$

ข้อที่เหลือค่อยมาเพิ่มให้ครับ ... ใครเฉลยได้ก็เริ่มเลย :-)

[PP_nine]

ตอบข้อ 1 แบบฝึก 1
เหมือนข้อนี่เคยเห็นในข้อสอบ สสวท แต่ใช้แค่ a=1
วิธีก็คือ แทน x ด้วย x+a ไปเรื่องๆจนครบ 4 ครั้ง จะได้ว่า
f(x+4a)=f(x) , $\therefore$ f เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบเท่ากับ 4a

[PP_nine]

ตอบข้อ 1 แบบฝึก 2.2
แทน x ด้วย $\frac{1}{x} $
แก้มาได้ $f(x) = -(\frac{3^x+3^\frac{x+1}{x} }{8}) $

[PP_nine]

ข้อ 3 จากแบบฝึก 2.2 นะครับ
โจทย์ : (belarus MO 1992-1993) จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x^2 + y) = f(x) + f(y^2)$

แทน $x$ ด้วย $-x$ ได้สมการ $f(x^2+y)=f(-x)+f(y^2)$

แสดงว่า $f(-x)=f(x)$ (เมื่อเทียบกับสมการเดิม) ได้ $f$ เป็นฟังก์ชันคู่

และเมื่อแทน $x=y=0$ ก็จะได้ $f(0)=0$ ต่อจากนี้พิจารณาเพียง $x,y \ge 0$ ก็เพียงพอแล้วที่จะหาคำตอบ

แทน $x=0$ ในสมการเดิมเป็น $f(y)=f(y^2)$

สมการเดิมจึงกลายเป็น $f(x^2+y)=f(x)+f(y)$

สลับ $x,y$ ก็จะได้ $f(x+y^2)=f(x)+f(y)$ ___(1)

แทน $x$ ด้วย $\sqrt{x}$ ในสมการเดิมได้ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ___(2)

จาก (1),(2) ทำให้ได้ $f(x+y^2)=f(x)+f(y^2)=f(x)+f(y)=f(x+y)$

แทน $x$ ด้วย $x-y$ เป็น $f(x+y^2-y)=f(x)$

แทน $x=0$ ก็จะได้ $f(y^2-y)=f(0)=0$

แต่ทุก $z \in \mathbb{R}^+$ จะมี $y \in \mathbb{R}^+$ ที่ทำให้ $y^2-y=z$ เสมอ

นั่นคือ $f(z)=0$ ทุก $z \in \mathbb{R}^+$

และผลจากฟังก์ชันคู่ก็จะได้ $f(x)=0$ เพียงคำตอบเดียว

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมเองก้อไม่แน่ใจในวิธีคิดนะครับว่าจะต้องเริ่มจากอะไรดี
เพียงแต่บางข้อมอง ๆแล้วก็พอจะเห็นฟังก์ชันตามสมบัติที่กำหนดอยู่บ้างครับ
เช่นข้อ 3 ท้ายหัวข้อ 2.4
ผมเริ่มจากมองเห็นว่า $(x+y)^2+(x-y)^2=2x^2+2y^2$
แล้วเอา a คูณตลอดจะได้ $a(x+y)^2+a(x-y)^2=2ax^2+2ay^2$
$a(x+y)^2+a(x-y)^2=2ax^2+2ay^2$
จะได้ $f(x) = g(x) = h(x) = ax^2$ เป็นคำตอบหนึ่งครับ
แต่ผมไม่แน่ใจว่าจะมีอีกหรือไม่? ต้องพิสูจน์อย่างไร?

[PP_nine]

เห็นคนอื่นเข้ามาน้อย เลยมาช่วยเฉลยน่ะครับ

ข้อ 4 จากแบบฝึก 2.2
โจทย์ : (AMOC 2002) จงหา f : $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ซึ่ง
$f(2002x - f(0)) = 2002x^2$

แทน x ด้วย $\frac{f(0)}{2002} $ จะได้เป็น $f(0) = \frac{f(0)^2}{2002} $
$\therefore$ f(0) = 0 or 2002
แทนค่า f(0) ทั้ง 2 ค่า แก้ออกมาได้ $f(x) = \frac{x^2}{2002}$ or $ f(x) = \frac{(x+2002)^2}{2002} $

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ผมเองก้อไม่แน่ใจในวิธีคิดนะครับว่าจะต้องเริ่มจากอะไรดี
เพียงแต่บางข้อมอง ๆแล้วก็พอจะเห็นฟังก์ชันตามสมบัติที่กำหนดอยู่บ้างครับ
เช่นข้อ 3 ท้ายหัวข้อ 2.4
ผมเริ่มจากมองเห็นว่า $(x+y)^2+(x-y)^2=2x^2+2y^2$
แล้วเอา a คูณตลอดจะได้ $a(x+y)^2+a(x-y)^2=2ax^2+2ay^2$
$a(x+y)^2+a(x-y)^2=2ax^2+2ay^2$
จะได้ $f(x) = g(x) = h(x) = ax^2$ เป็นคำตอบหนึ่งครับ
แต่ผมไม่แน่ใจว่าจะมีอีกหรือไม่? ต้องพิสูจน์อย่างไร?

ผมเห็นอีกคำตอบนึง
ก็ให้ f(x), g(x), h(x) บวกเพิ่มด้วย $c_1, c_2, c_3$
ก็ได้อีกคำตอบคือ $f(x) = ax^2 + c_1$, $g(x) = ax^2 + c_2$, $h(x) = ax^2 + c_3$
โดยที่ $c_1 + c_2 = 4c_3$

แต่วิธีจริงผมเองก็ไม่รู้เหมือนกันแฮะ

[PP_nine]

จะว่าไป FE ก็หนุกพอๆกะอสมการนะ
แต่ทำไมทุกคนถึงไม่อยากยุ่งกะ FE นัก

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ2 แบบฝึกหัด 2.2 นะครับ
(beramus MO 1992-1993) $xf(y)-yf(x)=(x-y)f(xy)$
ผมมองเห็นว่า ถ้า $ f(x)=c$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่ เป็นคำตอบหนึ่งนะครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ข้อ2 แบบฝึกหัด 2.2 นะครับ
(beramus MO 1992-1993) $xf(y)-yf(x)=(x-y)f(xy)$
ผมมองเห็นว่า ถ้า $ f(x)=c$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่ เป็นคำตอบหนึ่งนะครับ

ข้อนี้ตอบ f(x) = c ถูกครับ แต่วิธีจริงตอบได้ว่า เป็นจริงสำหรับ x $\not= $ 0

แทน y=1 ; xf(1) - f(x) = (x-1)f(x)
ย้ายข้างได้ xf(1) = xf(x)
$\therefore $ สำหรับ x $\not= $ 0 จะได้ f(x) = f(1) = c (ค่าคงที่)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

2. (AMOC 1995) ให้ $f : R \rightarrow R - \{0\}$ สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x+2) = f(x-1)f(x+5) \quad (x \in R)$
$\quad$ จงพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ

$f(x+2)=f(x-1)f(x+5)$

$f(x-1)=f(x-4)f(x+2)$

คูณทั้งสองสมการ

$1=f(x-4)f(x+5)$

แทน $x$ ด้วย $x+9$

$1=f(x+5)f(x+14)$

ดังนั้น

$f(x-4)f(x+5)=f(x+5)f(x+14)$

$f(x-4)=f(x+14)$

$f(x)=f(x+18)$

[Switchgear]

ขอบคุณทุกคนที่ช่วยตอบและช่วยอ่านครับ :-)

ส่วนตัวแล้วผมว่าโจทย์ FE ท้าทายกว่าอสมการ อาจเป็นเพราะหนังสืออสมการ
มีเยอะแล้ว เลยหาอ่านได้ง่าย แต่ FE หาอ่านได้ยาก และยังไม่มีรูปแบบตายตัว
แต่การไม่มีแหล่งข้อมูลดีๆ ทำให้คนเก่งที่สนใจ FE ก้าวหน้าได้ยากกว่าอสมการ

แม้แต่หนังสือ สอวน. เล่มนี้ ผมก็ไม่ค่อยประทับใจคำอธิบาย เพราะขาดความ
ต่อเนื่องทั้งเนื้อหาและเฉลยตัวอย่างต่างๆ เหมือนลอกๆ มารวมกันให้เสร็จไป
แต่ไม่ได้ลำดับความคิดให้เป็นระบบในการถ่ายทอดความรู้ให้กับผู้อ่านหน้าใหม่
จึงไม่เหมาะจะเป็นหนังสือเรียนรู้ตามขั้นตอน แต่ในแง่การรวมโจทย์ฝึกฝนก็
ถือว่ามีโจทย์เยอะดี!

ผมเคยอ่านเล่มของ สสวท. ซึ่งอธิบายหลักการได้ดีกว่ามาก เสียดายที่หาซื้อ
ทั่วไปไม่ได้ (ผมได้สำเนาจากเพื่อนคนหนึ่ง) แม้ว่าโจทย์และเนื้อหาไม่มาก
เท่ากับเล่ม สอวน. แต่มีการลำดับความคิดในการถ่ายทอดความรู้ดีกว่าเยอะ

ขอโทษผู้เกี่ยวข้องด้วยครับ ที่ผมวิจารณ์ตรงๆ ... และเคยอ่านเจอหลายกระทู้
ก็มีผู้วิจารณ์ทำนองนี้เช่นกัน สำหรับเล่มอื่นของ สอวน. ผมประทับใจครับ!

ใครที่อ่านภาษาอังกฤษได้คล่อง ผมแนะนำหนังสือ FE ที่อธิบายเป็นลำดับขั้น
คือ Lectures on Functional Equations and Their Applications
แต่งโดย J. Aczel ปี 1966 สำนักพิมพ์ Academic Press ซึ่งเป็นหนังสือ
อ้างอิงเล่มแรกสุดในเล่ม สสวท. (แต่ไม่อยู่ในอ้างอิงของ สอวน. ???)