ลิมิตอย่างเคย

[gnopy]

เนื่องจากกระทู้เดิมเข้าแล้วค้างบ่อยผมเลยขออนุญาติมาโพสไว้ทีนี่แทนครับ สำหรับเด้กปี1ที่กำลังเรียนแคลกันทุกๆคน (ขอให้พี่ๆในบอร์ดนี้ที่จบไปแล้วอย่าเพิ่งแสดงวรยุทธ์กันนะครับ)
1 จงแสดงการหาค่าลิมิตต่อไปนี้โดยใช้นิยาม (เดลต้า กับ เอฟซิลอนอะ)
1.1 $ \lim_{ x \rightarrow c}mx+b$=mc+b
1.2 $\lim_{ x \rightarrow c}\sqrt{x} =\sqrt{c}$
1.3 $\lim_{x\rightarrow c}x^2$=$c^2$
1.4 $\lim_{x\rightarrow 1}4x^3+3x^2-24x+22$= 5
1.5 $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x+1} $= $\frac{1}{2} $
2. จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ (ห้ามใช้กฏของโลปิตาล)
2.1 $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{6-x}-2 }{\sqrt{3-x} -1} $= ?
2.2 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+cx} -1}{x}$ = ?
เอาไปแบบหอมปากหอมคอก่อนครับ เด๋วจะมาแปะเพิ่มทีหลัง

[[SATAN]_narak]

ขอตัวอย่างด้วยดิครับ ผมทำไม่เป็นอะ

[RedfoX]

ผมอ่านทฤษีที่ใช้เดลตากับเอฟสิลอนไม่ค่อยรู้เรื่องอะครับ ยังไงรบกวนเกริ่นนิดหน่อยสิครับ

[nooonuii]

นิยาม$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
ก็ต่อเมื่อ ทุก $\epsilon > 0$ จะมี $\delta > 0$ ซึ่งถ้า $|x-a|<\delta$ แล้ว $|f(x)-L|<\epsilon$

เทคนิคการพิสูจน์โจทย์ลิมิตโดยใช้นิยามนี้ก็คือการทำย้อนกลับและใช้อสมการครับ ใครมีอสมการอยู่กับตัวมากเท่าไหร่ก็ทำโจทย์แนวนี้ได้มากเท่านั้น ความยากของโจทย์จะอยู่ที่ตัวฟังก์ชันที่เราจะพิสูจน์ครับ ถ้ามันซับซ้อนมากอสมการที่จะนำมาใช้ก็จะหายาก ผมขอลองทำให้ดูข้อง่ายๆข้อนึงนะครับ
$$\lim_{x\to c}mx+b = mc+b$$
ในที่นี้ $a=c$ และ $L=mc+b$
หัวใจสำคัญในการพิสูจน์อยู่ที่เราจะต้องทำให้ $|(mx+b) - (mc+b)|<\epsilon$ เป็นจริง เมื่อเราเลือก $\delta$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$ ที่สอดคล้องอสมการ $|x-a|<\delta$

คราวนี้จะเลือก $\delta$ ยังไงดี ? ก็ลองจัดรูปดูครับ

$|(mx+b)-(mc+b)|<\epsilon$

$|m(x-c)|<\epsilon$

$|m||x-c|<\epsilon$

หลังจากทำมาถึงตรงนี้ก็มีกรณีที่เราต้องแยกคิดคือ

กรณีที่ $1$ $|m|=0$ จะได้ $0<\epsilon$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ เราก็เลือก $\delta$ เป็นอะไรก็ได้ครับ
กรณีที่ $2$ $|m|>0$ จะได้ $|x-c|<\dfrac{\epsilon}{|m|}$ เราต้องการเลือก $\delta$ ซึ่งทำให้ $|x-c|<\delta$ ฉะนั้นเราก็เลือก $\delta=\dfrac{\epsilon}{|m|}$ ซะเลย

ที่เล่ามาทั้งหมดเป็นเบื้องหลังวิธีคิด ถ้าจะเขียนพิสูจน์ให้ดูสวยๆแบบนักคณิตศาสตร์ก็จะเป็นแบบนี้ครับ
----------------------------------------------------------------------------------------------------
กำหนดให้ $\epsilon>0$

กรณีที่ 1 $m=0$ เลือก $\delta=1$ จะได้ว่า ถ้า $|x-c|<\delta$ แล้ว $$|(mx+b)-(mc+b)|=0<\epsilon$$

กรณีที่ 2 $m\neq 0$ เลือก $\delta=\dfrac{\epsilon}{|m|}$ จะได้ว่า ถ้า $|x-c|<\delta$ แล้ว $$|(mx+b)-(mc+b)|=|m||x-c|<|m|\delta=\epsilon$$

ดังนั้น $\displaystyle{\lim_{x\to c}mx+b = mc+b}$ ตามต้องการ
---------------------------------------------------------------------------------------------------

[RedfoX]

โอ้ กระจ่างขึ้นเยอะเลยครับ (อ่านเองมาตั้งนานไม่รู้เรื่องเลย55+) ขอบคุณมากนะครับ

[M@gpie]

น้อง Redfox อ่านเข้าใจแล้วไม่ลองทำข้ออื่นดูเหรอคับ

[RedfoX]

ทดสอบซะเลย ข้อ2 เลือก
\[
\delta = \frac{\varepsilon }{{\left| {x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} } \right|}}
\]
ถ้า
\[
\left| {x - c} \right| < \delta
\]
แล้ว จากโจทย์จัดรูป

\[
\frac{{\left| {x - c} \right|}}{{\left| {x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} } \right|}} < \varepsilon = \delta \left| {x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} } \right|
\]

[RedfoX]

อุ่ยลืมตอบ ดังนั้น limx→c√x=√c

[RedfoX]

มันมือขอต่อเลยละกัน
กำหนด
\[
\varepsilon > 0
\]
กรณี 1
\[
\left| {x + c} \right| = 0
\]
เลือก
\[\delta = 2\]จะได้ว่า ถ้า
\[
\left| {x - c} \right| < \delta
\]
แล้ว
\[
\left| {x^2 - c^2 } \right| = 0 < \varepsilon
\]
กรณี2
\[
\left| {x + c} \right| \ne 0
\]
เลือก
\[
\delta = \frac{\varepsilon }{{\left| {x + c} \right|}}
\]

\[
\left| {x^2 - c^2 } \right| = \left| {x - c} \right|\left| {x + c} \right| < \varepsilon = \delta \left| {x + c} \right|
\]
ดังนัน้
\[
\mathop {lim}\limits_{x \to c} x^2 = c^2
\]

[M@gpie]

วิธีพิสูจน์ข้อนี้แยกเป็น 2 กรณีก็จะเห็นชัดขึ้นนะครับ คือ
1. กรณี $c=0$ สำหรับแต่ละ $\epsilon >0$ จะเลือก $\delta = \epsilon^2$ จะได้ผลที่ต้องการคือ
\[ \forall \epsilon >0 \exists \delta >0, \; \; 0<|x-0| <\delta \Rightarrow |\sqrt{x}-0| < \epsilon\]
2. กรณี $c>0$ สำหรับแต่ละ $\epsilon >0$ เลือก $\delta =\sqrt{c}\epsilon$
\[ \forall \epsilon >0 \exists \delta >0, \; \; 0<|x-c| < \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{c}| = |\frac{x-c}{\sqrt{x}+\sqrt{c}}| < \frac{1}{\sqrt{c}} |x-c| < \epsilon\]

[nooonuii]

$\delta$ ที่เลือกมาต้องเป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$ อย่างเดียวนะครับ ไม่ขึ้นกับ $x$

[RedfoX]

ออ แสดงว่าเลือกผิดซินะครับ ต้องแก้เป็นแบบของพี่ M@gpie ใช่ปะครับ