มาราธอน ค่าย 1

[Form]

ขอลงโจทย์บ้างละกันครับ พึ่งคิดได้พอดี

$1. ให้ f(n)=พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบในวงกลมรัศมี r หน่วย $
$ แล้วจงพิสูจน์ว่า f(n) เป็นฟังก์ชั่นเพิ่ม $



มีคนเอามาให้ลองทำครับ ใครเคยทำแล้วขออภัย

[Pain 7th]

#93 ทำตรงๆ เลยครับ $\displaystyle \lim_{n \to 0} \dfrac{1}{2}\sin (\dfrac{2\pi}{n}) \cdot r^2 \cdot n = \pi r^2$

มาทำต่อให้ครับ

$\cos 2A+\cos 2B+\sin 2C+\sin \dfrac{\pi}{3} = 2\cos (A-B)\cos (A+B)+2\sin (C+\dfrac{\pi}{6})\cos (C-\dfrac{\pi}{6})$

$ \leq 2\cos (A+B)+ 2\cos (C+\dfrac{\pi}{6})$

แล้วก็ทำอย่างที่เคยบอกไปน่ะครับ

[Keehlzver]

เรียงความยากตามหมายเลขข้อนะครับ (มีที่ผมแต่งเองอยู่ 2 ข้อ)

อสมการ

1. ให้ $p \geq 2$ และ $a,b,c \geq 0$ จงพิสูจน์ว่า

$\sqrt[3]{\frac{a^3+pabc}{1+p}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+pabc}{1+p}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+pabc}{1+p}} \leq a+b+c$


2. สำหรับ $x \geq y \geq 1$ จงพิสูจน์ว่า

$\frac{x}{\sqrt{x+y}}+\frac{y}{\sqrt{y+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}} \geq \frac{y}{\sqrt{x+y}}+\frac{x}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}}$


3.ให้ $a,b,c,d > 0$ จงพิสูจน์ว่า
$(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)(1+d^3) \geq \frac{1+abcd}{2}(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)$


4. ให้ $a,b,c,x,y,z > 0 $ ซึ่ง $xy+yz+zx=3$ จงพิสูจน์ว่า
$\frac{a(y+z)}{b+c}+\frac{b(z+x)}{c+a}+\frac{c(x+y)}{a+b} \geq 3$


5. ให้ $x,y,z >0$ ซึ่ง $xyz=1$ จงพิสูจน์ว่า
$\frac{x^5+x^2}{(y+z)^2}+\frac{y^5+y^2}{(z+x)^2}+\frac{z^5+z^2}{(x+y)^2}\geq \frac{3(x^3y+y^3z+z^3x)}{2(x+y+z)}$

6. ให้ $a,b,c \geq 0$ จงพิสูจน์ว่า
$a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab\sqrt{2a^2+2b^2}+bc\sqrt{2b^2+2c^2}+ca\sqrt{2c^2+2a^2}$

ทฤษฎีจำนวน

1. ทุกจำนวนเต็มบวก $n$ จงพิสูจน์ว่า $120 \mid n^5-5n^3+4n$

2.ให้ $p>2$ เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า $p \mid 1^{p^{n}}+2^{p^{n}}+...+(p-1)^{p^{n}}$

3. จงพิสูจน์ว่า $3^{4^{5}}+4^{5^{6}}$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่แต่ละจำนวนมากกว่า $10^{2012}$

4.จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n>1$ แล้ว $n^8+98n^4+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

5. ให้ $k > 2$ และ $n>120$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มบวกเรียงกัน 4 จำนวน จงพิสูจน์ว่า
มี $s_{i} \not = 0$ เป็นจำนวนเต็ม ที่ทำให้ $n=s_{1}k_{1}^2+s_{2}k_{2}^2+...+s_{6}k_{6}^2$

6. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นอนันต์ที่ทำให้ $n \mid 2^n+1$

[Pain 7th]

NT

3. $x^4+4y^4 = (x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$

$3^{4^5}+4^{5^6}= (3^{4^4})^4+4 (5^{5^6-1}) $

แล้วก็แยกตัวประกอบเลยครับ

4. $n^8+98n^4+1= n^8+16n^6+66n^4-(16n^6-32n^4+16n^2)+16n^2+1$

กะจำได้ $(n^4+8n^2+1)^2-(4n^3-4n)^2$

[Thgx0312555]

NT
1. $120 \nmid (2^5-5\times 2^4+4\times 2^3)$
6. $n | (2^n+1)$ เป็นจริงทุกค่า $n=3^k$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (พิสูจน์ใช้ induction ก็น่าจะออกครับ)

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

NT
1. $120 \nmid (2^5-5\times 2^4+4\times 2^3)$
6. $n | (2^n+1)$ เป็นจริงทุกค่า $n=3^k$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (พิสูจน์ใช้ induction ก็น่าจะออกครับ)

ข้อ 1 ผมพิมพ์ผิด แก้เป็น $n^5-5n^3+4n$ ครับ ขออภัยในความกระเพราไม่ได้เชคหลายๆรอบ
ข้อ 6 ถูกแล้วครับ $n=3^k$ โดยที่ $k=0,1,2,...$ พิสูจน์โดย induction ได้จริงๆครับ แต่ใช่ว่าจะแก้ออกทุกคน

โจทย์บางข้อเราเห็นว่าง่าย มองข้ามและไม่ได้ทำ พออยู่ในห้องสอบกลับทำไม่ออก
โจทย์บางข้อดูเหมือนยากเวอร์ แต่พอลองแกะดู กลับง่ายกว่าที่คิด

ผมเตือนเด็กสอวน.ทุกคนที่กำลังจะเข้าค่าย "อย่าดูแคลนโจทย์ครับ" คนเป็นอาจารย์เขากึ๋นเยอะครับ

[Pain 7th]

#97 ผมงง ตั้งแต่ $n= 3^k$ แล้วอ่ะครับ ทำยังไงถึงได้อ่ะครับ ผมทำนานมากเลยอ่ะครับ

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

#97 ผมงง ตั้งแต่ $n= 3^k$ แล้วอ่ะครับ ทำยังไงถึงได้อ่ะครับ ผมทำนานมากเลยอ่ะครับ

เราลองแทน $n=1,2,3,...,10$ ดูเราพบว่า $n=1,3,9$ เป็นค่าที่ใช้ได้
เราเลย "เดา" ว่า $n$ อยู่ในรูป $3^k$ โดยที่ $k=0,1,2,...$ ครับ

การเดาเป็น 1 ในกลยุทธ์แก้โจทย์ข้อนี้ครับ

ต่อไปเราก็อุปนัยบน $k$ เพื่อจบบทพิสูจน์ครับ

[~ArT_Ty~]

จาก Hint ของน้อง Thgx0312555

$2^{3^k}+1\left|\,\right. 2^{3^{k+1}}+1$ ครับผม

[จูกัดเหลียง]

Hint NT 5 หน่อยครับผมไม่ค่อยเข้าใจโจทย์หมายถึงว่า ทุก $k_i>2$ จะมี $s_i\not=0$ เสมอเหรอครับ
กับอสมการข้อ 6 มัน sharp กว่า Schur's อีก =[]="

ปล.เเล้วก็อสมการข้อ 4 อ่ะครับผมสมุติว่า $x\ge y\ge z$ พร้อมกับ $a\ge b\ge c$ ได้ไหมครับ 555

[Pain 7th]

ผมเริ่มชอบข้อ 6 และ

สมมุตินะครับถ้า มี $n$ ที่สอดคล้องนั้นจริง คือ $n| 2^n+1$

$2^m+1 | 2^{mk}+1$ โดยผมจะเลือก $mk=2^m+1$ แสดงว่ามันมี n เป็นอนันต์โดยเราก็ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ

ทำแบบนี้ได้หรือเปล่าครับ ?????

[Keehlzver]

เอ่อ หมายถึงทุกจำนวนเต็มบวก $k$ จะได้ $2^m+1\mid 2^{mk}+1$ ใช่หรือเปล่าครับ ถ้าใช่ ประพจน์นี้ดูเหมือนว่าจะเป็นจริงทุกจำนวนเต็มบวกคี่ $k$ ครับ แต่ไม่ได้เป็นการสรุปว่ามีเป็นอนันต์ มันสรุปได้แค่ว่า $\frac{2^m+1}{m}$ เป็นจำนวนเต็มคี่เสมอ

NT ข้อ 5 พูดง่ายๆคือผลคูณของจำนวนเต็มบวกเรียงกัน 4 จำนวน สามารถเขียนได้ในรูปผลบวกหรือผลต่างของกำลังสองสมบูรณ์ 6 พจน์ที่ฐานของมันมากกว่า 3 ได้ครับ
HINT คือ เสกเอกลักษณ์พีชคณิตที่มีกำลังสองสมบูรณ์ 6 พจน์กับผลคูณของจำนวนเรียงกัน 4 ตัวให้ได้

อสมการข้อ 4 สมมติแบบนั้นไม่ได้ครับ อสมการไม่มีสมมาตร
Homogenize ข้างขวาเป็น $\sqrt{3(xy+yz+zx)}$ ก่อน

ส่วนอสมการข้อ 6 เขารู้จักกันในชื่อ Stronger than Schur ไม่ต้องไปซีเรียสก็ได้ครับ ไม่เอามาค่าย 1 แน่นอน
เอามาออก TMO ผมยังว่ายากไปเลย เอามาให้ทำเฉยๆครับ
HINT คือ $\frac{3x^2+2xy+3y^2}{2(x+y)}\geq \sqrt{2x^2+2y^2}$

[Thgx0312555]

NT5 อันนี้เป็นเฉลยนะครับ
$x(x+1)(x+2)(x+3)=(2x^2+4x+2)^2+(x^2+x)^2+(2x+1)^2-(2x^2+3x+1)^2-(2x+2)^2-x^2$
ซึ่งทุก k > 2 เป็นจริงเสมอจาก n > 120

Hint :: $x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+2x)(x^2+4x+3)$
โจทย์น่าจะเขียน $s_i = \pm 1$ ด้วยน่าจะเคลียร์กว่า

ปล. อสมการทำไม่เป็นเลยครับ - -

[จูกัดเหลียง]

คือผมอยากรู้ว่า มองยังไงอ่ะครับ ทั้ง #96,#105 คือไปไม่เป็นทีเดียว 5555+
ปล.ผมว่ามันจินตนาการมากเกินสมองผมเเหงเลย
ปล.2 อสมการ 3,4,5,6 ผมคิดมา 2 วันเเล้วยังไม่ได้อะไรเลยครับ ช่วย Hint 3 ที 55

[Keehlzver]

ข้อ 3 โดยโคชี $a^3+1=\sqrt{(a^3+1)(a+1)(a^2-a+1)} \geq (a^2+1)\sqrt{a^2-a+1}$
หลังจากนี้ใช้ Jensen ครับ แต่ก่อนใช้จะยากอยู่

ข้อ 4 Homogenize ด้วย $xy+yz+zx=3$ แล้วอสมการ Homogeneous ดีกรี 1
แล้ว Homogenize โดยสมมติให้ $x+y+z=1$ อีกรอบครับ
เขียนอสมการใหม่เป็น $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{\sqrt{3}\sqrt{xy+yz+zx}}{2}+\frac{\sqrt{3}\sqrt{xy+yz+zx}}{2}+\frac{ax}{b+c}+\frac{by}{c+a}+\frac{cz}{a+b}$
หลังจากนี้ใช้โคชีฝั่งขวาครับ

ข้อ 5 ใช้อสมการนี้ครับ $(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3(x^3y+y^3z+z^3x)$

ข้อ 6 ใช้เอกลักษณ์นี้ครับ $a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=\frac{(a+b-c)(a-b)^2+(b+c-a)(b-c)^2+(c+a-b)(c-a)^2}{2}$
ต้อง bound อสมการให้ sharp ก่อน
อสมการสุดท้ายจะเขียนได้ในรูปของ SOS $\sum_{cyc}(a+b-c-\frac{ab}{a+b})(a-b)^2 \geq 0$
====================================================================
ข้อ 3 กับข้อ 6 ยากกว่าข้ออื่นๆครับ สำหรับอสมการสอวน.ทำแค่ Hojoo Lee ไปเยอะๆก็เกือบเต็มแล้วครับ กระทู้ Hojoo Lee พี่ nooonuii เฉลยไว้เกือบหมดแล้ว ฝึกไปหมดนั่นก็ถมเถแล้วครับ