|
|
#31
23 กันยายน 2020, 10:52
|
||||
|
||||
ผลรวม...exponential...เชิง...fractorial...
อ้างอิง:
...Taylor's series...ทำให้รู้ค่าการลู่เข้า... ...ของฟังก์ชันเชิงแฟคทอเรียลได้เช่น... ถ้า...$a_n$...คือความสัมพันธ์แบบ...exponential... หรือมีความสัมพันธ์แบบ...linear... กับพจน์ก่อนหน้า... ซึ่งสามารถหาพจน์ทั่วไปของ...$a_n$... $$a_n=\lambda_1p_1^n+\lambda_2p_2^n...,n\geqslant 0$$ ผลรวมของ...$\frac{a_n}{n!}$...จะลู่เข้า... $$a_0+a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+...+\frac{a_n}{n!}$$ และลู่เข้าสู่... $$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}=\lambda_1e^{p_1}+\lambda_2e^{p_2}$$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 
|
|
#32
17 ตุลาคม 2020, 17:04
|
||||
|
||||
|
ผลรวม...exponential...เชิง...combinatoric
อ้างอิง:
หรือความสัมพันธ์แบบ...exponential...ที่มีพจน์ทั่วไป...$b_n=\lambda_1 p_1^n+\lambda_2 p_2^n$ สามารถหาผลรวมของการเลือกสรรโดยใช้หลักการคอมบินาทอริกได้คือ... $$\binom{n}{0}b_0+\binom{n}{1}b_1+\binom{n}{2}b_2+...+\binom{n}{n-1}b_{n-1}+\binom{n}{n}b_n $$ หรือ... $$\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}b_k=\lambda_1 (p_1+1)^n+\lambda_2 (p_2 +1)^n$$ ...ขอบคุณครับ...
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#33
21 ตุลาคม 2020, 11:39
|
||||
|
||||
|
ผลรวมทวินาม...fibonucci
$(1+f)^n=f^{2n}$ เมื่อ...$f^n=F(n)...คือเลขฟิโบนัชที่(n)$ โดย...$F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(0)=0,F(1)=1$ หรือ... $$\binom{n}{1}F(1)+\binom{n}{2}F(2)+\binom{n}{3}+...+\binom{n}{n-1}F(n-1)+\binom{n}{n}F(n)=F(2n)$$ เช่น... $\binom{5}{1}F(1)+\binom{5}{2}F(2)+\binom{5}{3}F(3)+\binom{5}{4}F(4)+\binom{5}{5}F(5)=F(10)$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 21 ตุลาคม 2020 11:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: เพิ่มเอฟ(สาม)
|
|
#34
26 ตุลาคม 2020, 09:02
|
||||
|
||||
|
ผลรวมทวินาม...fibonucci...$3^{step}$
$(1+2f)^n=f^{3n}$ เมื่อ...$(2f)^n=2^nf^n=2^nF(n)$ โดย...$F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(0)=0,F(1)=1$ หรือ... $$(2^1)\binom{n}{1}F(1)+(2^2)\binom{n}{2}F(2)+(2^3)\binom{n}{3}F(3)+...+(2^{n-1})\binom{n}{n-1}F(n-1)+(2^n)\binom{n}{n}F(n)=F(3n)$$ เช่น... $(2)\binom{5}{1}F(1)+(2^2)\binom{5}{2}F(2)+(2^3)\binom{5}{3}F(3)+(2^4)\binom{5}{4}F(4)+(2^5)\binom{5}{5}F(5)=F(15)$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#35
01 พฤศจิกายน 2020, 07:45
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
1)...กำหนดความสัมพันธ์...$$b_n=\epsilon ^n,โดย...\epsilon คือจำนวนเล็กๆ$$ 2)...หาผลรวมทวินามของความสัมพันธ์...$b_n$ $$\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}b_k=(1+\epsilon )^n$$ หรือ... $$1+\binom{n}{1} \epsilon +\binom{n}{2} \epsilon ^2+\binom{n}{3} \epsilon ^3+...+\binom{n}{n-1} \epsilon^{n-1}+\binom{n}{n}\epsilon^n=(1+\epsilon)^n$$ 3)...แทน...$\epsilon=\frac{1}{n}$ ...แล้วเทคลิมิตเข้าสู่อนันต์... $$\lim_{n \to \infty} [\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}(\frac{1}{n})^k]=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} + ... $$ 4)...ได้ค่า...$e$ $$e=\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n} )^n$$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#36
08 พฤศจิกายน 2020, 09:40
|
||||
|
||||
|
ทวินามสลับของเลข...fibonucci
อ้างอิง:
เช่น... 1)...$F(12)=\binom{6}{1}F(1)+\binom{6}{2}F(2)+\binom{6}{3}F(3)+\binom{6}{4}F(4)+\binom{6}{5}F(5)+\binom{6}{6}F(6)$ 2)...$F(2000)=\binom{1000}{1}F(1)+\binom{1000}{2}F(2)+\binom{1000}{3}F(3)+...+\binom{1000}{999}F(999)+\binom{1000}{1000}F(1000)$ เป็นต้น... หรือเขียนเป็นสมการทวินามฟิโบนัชชีคือ... $$(1+f)^n=f^{2n}$$ ในเส้นทางกลับของสมการดังกล่าวคือ... ...เลขฟิโบนัชชีทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลต่างทวินามของเลขฟิโบนัชชีตำแหน่งคู่ได้เสมอ... เช่น... 1)... $F(6)=F(12)-\binom{6}{1}F(10)+\binom{6}{2}F(8)-\binom{6}{3}F(6)+\binom{6}{4}F(4)-\binom{6}{5}F(2)$ 2)... $F(7)=F(14)-\binom{7}{1}F(12)+\binom{7}{2}F(10)-\binom{7}{3}F(8)+\binom{7}{4}F(6)-\binom{7}{5}F(4)+\binom{7}{6}F(2)$ 3)...$F(1010)=F(2020)-\binom{1010}{1}F(2018)+\binom{1010}{2}F(2016)-\binom{1010}{3}F(2014)+...+\binom{1010}{1008}F(4)-\binom{1010}{1009}F(2)$ เป็นต้น... หรือเขียนเป็นสมการทวินามฟิโบนัชชีคือ... $$(f^2-1)^n=f^n$$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#37
13 พฤศจิกายน 2020, 07:24
|
||||
|
||||
|
ทวินามลู่เข้าของเลข...fibonucci
ลองพิจารณาซี่รี่ย์...
$$\sum_{n = 0}^{\infty} (2^{1/2-n})\binom{1/2}{n}F(n)$$ หรือ... $$2^\frac{1}{2}\binom{\frac{1}{2}}{0} F(0)+2^{(-\frac{1}{2})}\binom{\frac{1}{2}}{1} F(1)+2^{(-\frac{3}{2})}\binom{\frac{1}{2}}{2} F(2)+2^{(-\frac{5}{2})}\binom{\frac{1}{2}}{3} F(3)+...$$ ลู่เข้ามั้ย?... ถ้าใช้หลักการกระจายทวินามของเลขฟิโบนัชชี... ผลรวมนี้จะลู่เข้าอัตราส่วนของฟังก์ชันtanของมุม$\pi/10$... หรือเขียนสมการทวินามฟิโบนัชชี... $$(2+f)^{\frac{1}{2}}=tan\frac{\pi}{10}$$ โดยที่...$F(n)คือเลขฟิโบนัชชี...,f^n=F(n)$ $\binom{\frac{1}{2}}{n} =\frac{(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n+1)}{n!}$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 14 พฤศจิกายน 2020 07:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: จัดบรรทัด,1/2,0,n!,แก้4เป็น3
|
|
#38
20 พฤศจิกายน 2020, 17:30
|
||||
|
||||
...อัตราส่วนพายในรูปของอัตราส่วนทองคำ
$$\frac{\pi }{10} =( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{3} ( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{\frac{3}{2} }+\frac{1}{5}( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{\frac{5}{2}} -...+(-1)^{n+1}(\frac{1}{2n-1})( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{(n-\frac{1}{2})}$$ หรือ... $$\frac{\pi}{10}=\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n+1}(\frac{1}{2n-1})( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{(n-\frac{1}{2})}$$ ...โดย $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#39
22 พฤศจิกายน 2020, 14:27
|
||||
|
||||
|
ผลรวมทวินามของความสัมพันธ์เชิงเส้นแบบเลขคณิต
...เช่นถ้า...$a_n=2n+1$ หรือเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น...$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2},โดยที่...a_0=1,a_1=3$ หรือ...$a_n...คือลำดับเลขคณิตที่มีพจน์ทั่วไปเท่ากับ...2n+1$ ...ผลรวมทวินามของความสัมพันธ์นี้ตั้งแต่...$a_0...จนถึง...a_{2n}$...เขียนแทนได้เป็น... $$\binom{2n}{0}a_0+\binom{2n}{1}a_1+\binom{2n}{2}a_2+...+\binom{2n}{2n-1}a_{(2n-1)}+\binom{2n}{2n}a_{(2n)}$$ และจะมีค่าเท่ากับ...$(2n+1)(4^n)$ หรือเขียนได้เป็น... $$\sum_{k = 0}^{2n}\binom{2n}{k}(2k+1)=(2n+1)(4^n)$$ หรือเขียนเป็นสมการทวินามเลขคณิตได้... $$(1+a)^{2n}=(4a)^n$$ ...โดย...$a^n=a_n$,$(4a)^n=(4^n)(a_n)$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#40
29 พฤศจิกายน 2020, 14:13
|
||||
|
||||
|
ทวินามของความสัมพันธ์เชิงเส้น
เช่นที่...$a_n$...มีความสัมพันธ์เชิงเส้นแบบ...$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},เริ่มที่ a_0 และ a_1$$ทวินามของความสัมพันธ์...$a_n$...เขียนแทนด้วย$(1+a)^n$...มีความหมายคือ $$\binom{n}{0}a_0+\binom{n}{1}a_1+\binom{n}{2}a_2+...+\binom{n}{n-1}a_{n-1}+\binom{n}{n}a_n$$จะยังคงมีความสัมพันธ์เชิงเส้นที่สัมพันธ์กับ...$a_n$...เขียนแทนด้วย $$b_n=(\alpha+2)b_{n-1}+(\beta-\alpha-1)b_{n-2},เริ่มที่b_0=a_0 และ b_1=a_0+a_1$$หรือเขียนเป็นสมการทวินามเชิงเส้น... $$(1+a)^n=b^n$$โดย...$a^n=a_n,b^n=b_n$ และ... $a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},a_0และa_1$ แล้ว... $b_n=(\alpha+2)b_{n-1}+(\beta-\alpha-1)b_{n-2},b_0=a_0และb_1=a_0+a_1$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#41
03 ธันวาคม 2020, 10:10
|
||||
|
||||
|
ทวินามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เช่น...ถ้ากำหนดทวินามอันหนึ่งของฟังก์ชันโคไซน์$(cosine)$ของมุม$\theta$...คือ $$1+\binom{2n}{1}cos\theta+\binom{2n}{2}cos(2\theta)+\binom{2n}{3}cos(3\theta)+...+\binom{2n}{2n}cos(2n\theta)$$ ...จะสามารถหาผลรวมได้เท่ากับ $$(2+2cos\theta)^ncos(n\theta)$$หรือ... $$\sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k}cos(k\theta)=(2+2cos\theta)^ncos(n\theta)$$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
  |
|
|
