มีโจทย์แก้สมการมาให้ทำกันเล่นๆครับ

[จูกัดเหลียง]

ให้ $x,y,z,w\in\mathbb{R}$ โดย $x^2+\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{z^2}{5}=1$

และ $yz+2xw=zx+\dfrac{2yw}{3}=xy+\dfrac{2zw}{5}=0$

[Thgx0312555]

มี 14 คำตอบ

list of solution

$(x,y,z,w)=(\pm 1,0,0,0),(0,\pm\sqrt{3},0,0),(0,0,\pm\sqrt{5},0)$
and
$(x,y,z)=(\pm \sqrt{\frac{1}{3}},\pm 1,\pm \sqrt{\frac{5}{3}})$, $w=-\sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \frac{|xyz|}{xyz}$

[จูกัดเหลียง]

รบกวนแสดงวิธีคิดด้วยได้มั้ยครับ อยากเห็นหลายๆเเนวคิดครับ

[Thgx0312555]

แยกกรณีมีตัวนึงเป็น 0 ก่อน จะได้ว่าต้องมีสามตัวเป็น 0
เพราะถ้ามีแค่สองตัว(หรือตัวเดียว)ที่เป็น 0 สมมติว่า $x,y \neq 0$ จะขัดแย้งกับสมการ $xy+\dfrac{2zw}{5}=0$

ถ้ามีสามตัวเป็น 0 ก็แทนลงไปในสมการแรก ก็จะได้ชุดคำตอบ $(\pm 1,0,0,0),(0,\pm\sqrt{3},0,0),(0,0,\pm\sqrt{5},0)$

กรณีไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ จัดรูปสมการ
$\frac{yz}{xw}=-2 \quad (1)$
$\frac{zx}{yw}=-\frac{2}{3} \quad (2)$
$\frac{xy}{zw}=-\frac{2}{5} \quad (3)$

$(1) \div (2); \frac{y^2}{x^2}=3$
$(1) \div (3); \frac{z^2}{x^2}=5$

Let $x^2 = k$ ดังนั้น $y^2=3k, z^2=5k$ แทนค่าในสมการแรกได้ $k=\frac{1}{3}$

ดังนั้น $(x,y,z)=(\pm \sqrt{\frac{1}{3}},\pm 1,\pm \sqrt{\frac{5}{3}})$
นำไปแทนค่าใน $(1)$
จะได้ $w=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ โดยเครื่องหมายต้องทำให้ $xyzw<0$

ซึ่งสามารถตรวจคำตอบได้ว่าสอดคล้องกับสมการ