จำนวนจริงครับ ช่วยทีครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $x$เป็นคำตอบเดียวของสมการ
$x^4-2x^3+3x^2+ax+2 = 0$ จงหาค่า $a$

[Real Matrik]

หมายถึงสมการนี้มีรากเดียวหรือเปล่าครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

ครับหมายถึง a ทำให้สมการนี้มีคำตอบเดียว

[PP_nine]

ถ้าสมการพหุนามที่มี สปส จำนวนจริง มีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน $z$ แล้ว $\bar z$ ก็เป็นรากสมการนั้นด้วย

ฉะนั้น สมการกำลังสี่จะมีรากจริงได้เพียง 4 คำตอบ หรือ 2 คำตอบ หรือ 0 คำตอบ

เป็นไปไม่ได้ที่จะมีจำนวนจริง a ที่ทำให้สมการกำลังสี่มีรากเดียว
___________________________________________________________________________

ลืมไปว่ามีรากซ้ำได้

[กิตติ]

งั้นสมมุติว่า$x^4-2x^3+3x^2+ax+2 = 0=(x-s)^4$
$(x^2-2sx+s^2)(x^2-2sx+s^2)$
$=x^4-2sx^3+s^2x^2-2sx^3+4s^2x^2-2s^3x+s^2x^2-2s^3x+s^4$
$=x^4-4sx^3+6s^2x^2-4s^3x+s^4$
$s^4=2\rightarrow s=\sqrt[4]{2} $
$4s=2\rightarrow s=\frac{1}{2} $
ได้ค่า$s$ ไม่เท่ากันจากการเทียบสัมประสิทธิ์
$a=-4s^3=(-4)\frac{s^4}{s} = (-4)(2)(2)=-16$
ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหม แต่ดูมันแย้งๆกันเอง ดังนั้นคำตอบไม่น่าจะถูก
อีกกรณีที่เป็นไปได้คือ
$x^4-2x^3+3x^2+ax+2 = 0=(x-k)(x^3+cx^2+dx-\frac{2}{k})$
หรือเป็น $(x-k)^2(x^2+cx-\frac{2}{k})$ แล้ว
$x^3+cx^2+dx-\frac{2}{k}\not= 0$
$x^2+cx-\frac{2}{k}\not= 0$
โดยกำหนดว่า $x$ เป็นจำนวนจริง

จริงๆโจทย์น่าจะหมายความว่า $a$ ที่ทำให้คำตอบที่เป็นจำนวนจริงมีเพียงค่าเดียว
ขอบคุณครับคุณreal ผมกลัวจำสูตรผิดเลยยอมเสียเวลานั่งไล่ครับ คนแก่แล้วความจำไม่ค่อยดีครับ

[Real Matrik]

#4 กรุณาแก้สมการ $(x-1)^4=0$
#5 ใช้ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์จะดูง่ายกว่าครับ

[กิตติ]

คิดได้ $a=-4$.....ลองจับคู่ดู$x^4+3x^2+2=(x^2+2)(x^2+1)$
เหลืออีกสองพจน์คือ $-2x^3+ax$
$=-2x(x^2-\frac{a}{2} )$

$x^4-2x^3+3x^2+ax+2 = 0$
$=(x^2+2)(x^2+1)-2x(x^2-\frac{a}{2} )$
ถ้า$a=-2$
$(x^2+2)(x^2+1)-2x(x^2+1 )$
$=(x^2+1 )\left(\,x^2-2x+2\right) $
$=(x^2+1 )\left(\,(x-1)^2+1\right)=0$.....ไม่มีค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ

ถ้า$a=-4$
$(x^2+2)(x^2+1)-2x(x^2+2 )$
$=(x^2+2 )\left(\,x^2-2x+1\right) $
$=(x^2+1 )(x-1)^2=0$.....
มีค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการเพียงค่าเดียวคือ $1$

ผมคิดว่าน่าจะมีวิธีที่มาตรฐานกว่าที่ผมคิด อยากรอฟังท่านอื่นให้ความเห็นครับ