โจทย์ความน่าจะเป็น PAT1 มีนา 54 ยากมาก

[Delighted]

1. โยนเหรียญบาทเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญ จำนวน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกันเท่ากับเท่าไหร่

2. จงหาจำนวนสับเซต {${a_{1},a_{2},a_{3}}$} ของเซต {1,2,3,...,14} ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$

ขอวิธีทำด้วยคร้าบ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Delighted

1. โยนเหรียญบาทเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญ จำนวน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกันเท่ากับเท่าไหร่

My_Solution

$n(S) = 2^{10} = 1024$ = จำนวนวิธีในการเขียนจำนวนในระบบฐานสอง

เช่น 1011000111

ให้ 1 แทนขึ้นหัว , 0 แทนขึ้นก้อย

หาจำนวนวิธีในเหตุการณ์ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน เช่น 1000101010 จะได้จากพจน์ที่ 10 ของลำดับ

$a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=2, a_2=3$

หรือ 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

จะเห็นว่า $a_{10} = 144$

ดังนั้น $P(E) = 1-\frac{144}{1024} = \frac{55}{64}$

[lek2554]

ข้อ 1

แนวคิดอีกแบบหนึ่งครับ

ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวติดกันอย่างน้อย 2 ครั้ง = 1 - ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะไม่ขึ้นหัวติดกันเลย

จำนวนวิธีที่เหรียญจะไม่ขึ้นหัวติดกันเลย

กรณีที่1 ไม่ขึ้นหัวเลย มี 1 วิธี

กรณีที่ 2 ขึ้นหัว 1 ครั้ง มี 10 วิธี

กรณึที่ 3 ขึ้นหัว 2 ครั้ง มี 36 วิธี

กรณีที่ 4 ขึ้นหัว 3 ครั้ง มี 56 วิธี

กรณีที่ 5 ขึ้นหัว 4 ครั้ง มี 35 วิธี

กรณีที่ 6 ขึ้นหัว 5 ครั้ง มี 6 วิธี

รวมทั้งหมด 144 วิธี (แต่ละกรณีมาได้ยังไง ลองคิดดูก่อนนะครับ)

ข้อ 2 โจทย์ที่เขียนมาน่าจะมีอะไรบกพร่องอยู่นะครับ

เพราะข้อความในโจทย์ หมายถึง $a_1,a_2,a_3$ เป็นเซต โดยที่ $a_2-a_1\geqslant 3\rightarrow $ เซต - เซต $\geqslant 3$ ไม่รู้ว่าหมายถึงอะไร

โจทย์เป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ จำนวนสับเซต {$a_1,a_2,a_3 $}

[famousfive]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

My_Solution

$n(S) = 2^{10} = 1024$ = จำนวนวิธีในการเขียนจำนวนในระบบฐานสอง

เช่น 1011000111

ให้ 1 แทนขึ้นหัว , 0 แทนขึ้นก้อย

หาจำนวนวิธีในเหตุการณ์ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน เช่น 1000101010 จะได้จากพจน์ที่ 10 ของลำดับ

$a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=2, a_2=3$

หรือ 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

จะเห็นว่า $a_{10} = 144$

ดังนั้น $P(E) = 1-\frac{144}{1024} = \frac{55}{64}$

$a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=2, a_2=3$ ลำดับนี้มาจากไหนอะคะ ทำไมถึงต้ัองเป็นพจน์ที่ 10 ขอคำอธิบายหน่อยค่ะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ famousfive

$a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=2, a_2=3$ ลำดับนี้มาจากไหนอะคะ ทำไมถึงต้ัองเป็นพจน์ที่ 10 ขอคำอธิบายหน่อยค่ะ

จำนวน 1 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 2 จำนวนได้แก่ 0, 1 ดังนั้น $a_1=2$
จำนวน 2 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 3 จำนวนได้แก่ 00, 01, 10 ดังนั้น $a_2=3$
จำนวน 3 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 5 จำนวนได้แก่ 000, 001, 010, 100, 101ดังนั้น $a_3=5$
เป็นต้น.

พิจารณาจำนวน n หลักใด ให้ $a_n$ แทนจำนวนของจำนวนระบบฐานสอง n หลักที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน

เราจะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณีคือ

กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย 1 (หลักซ้ายมือสุด)
กรณีที่ 2 ขึ้นต้นด้วย 0

กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย 1
แล้วจำนวนในหลักต่อไป ตัวที่ 2 จะต้องเป็น 0 เท่านั้นเลือกได้ 1 วิธี
คือเป็น 10...............
ตอนนี้จะเหลือจำนวนอีก n-2 หลัก ดังนั้นโดยนิยาม จะมีได้ $a_{n-2}$ จำนวน

กรณีที่ 2. ขึ้นต้นด้วย 0
0...............
ตอนนี้จะเหลือจำนวนอีก n-1 หลัก ดังนั้นโดยนิยาม จะมีได้ $a_{n-1}$ จำนวน

นั่นคือ $a_n = a_{n-1}+a_{n-2}$

หมายเหตุ เมื่อครู่ผมลองไปอ่านคร่าว ๆ ในเว็บเด็กดี มีปัญหาหลายข้อที่นักเรียนคุยกันว่าทำไม่ได้ แต่โจทย์พวกนั้นส่วนมากเป็นโจทย์แนวเด็กประถมสายสอบแข่ง เช่น พวก Po leung kuk, Emic, IMSO ในเรื่องของการนับ (combinatorics) และ ทฤษฎีจำนวน พวกหาเศษ

ซึ่งถ้าเป็นนักเรียนที่สอบแข่งมาตั้งแต่เด็กคงหวานหมู แต่ถ้าใครที่ปกติไม่ได้สัมผัสโจทย์แนวนี้ อาจจะหืดขึ้นคอ ไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นตรงไหน ดังนั้นในการเตรียมสอบครั้งถัดไป บางทีอาจจะต้องหยิบโจทย์เด็กประถมพวกนี้มาลองทำดูนะครับ.

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Delighted

1. โยนเหรียญบาทเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญ จำนวน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกันเท่ากับเท่าไหร่

เห็นโจทย์มาตั้งแต่เมื่อคืนแล้ว กว่าจะคิดหาวิธีแบบม.ปลายได้ เพราะผมใช้วิธีอื่นไม่เป็น
จุดสำคัญ คือการแปลโจทย์,การตีความของ$E$ และ$E'$ แล้วแปลงมาเป็นวิธีการทำงาน

ผมขอลองทำแบบวิธีม.ปลายซึ่งอาจจะยาวกว่าที่เฉลยไว้
ปกติเวลาเจอโจทย์แบบนี้ที่ถามว่าโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์แบบอย่างน้อย.....ผมมักจะใช้วิธีของการหาเหตุการณ์ตรงข้าม หา$E'$
เพราะเรารู้ว่า$P(E)+P(E')=1$
ถ้าเราตีความของ"เหตุการณ์โยนเหรียญ10ครั้ง แล้วเกิดได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกัน" เราให้เป็น $E$
ดังนั้น $E'$ หมายถึง "เหตุการณ์โยนเหรียญ10ครั้ง แล้วเกิดไม่ได้หัวติดกัน 2 ครั้ง."
มองให้ง่ายคือเหมือนการจัดเรียงเหรียญในแนวหน้ากระดาน 10 ชิ้น.....ขยายความได้ว่าคือ เราเรียงให้เหรียญขึ้นหัวสองเหรียญใดๆให้แยกกัน.....เอาเหรียญขึ้นก้อยมาแทรก
ดังนั้น$E'$...รวมถึง ออกก้อยทั้งหมด10ครั้ง และออกหัวเหรียญเดียว อีกเก้าเหรียญเป็นก้อย ด้วย
เราเรียงเหรียญขึ้นหัวได้มากที่สุดกี่เหรียญ จึงจะยังเข้าข่าย"ไม่ได้หัวติดกัน 2 ครั้ง".....คือ 5 เหรียญ
_ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{6}{5}$, หรือ $C_6,_5 $ เท่ากับ 6
กรณีออกหัวสี่เหรียญ _ก_ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{7}{4}$, หรือ $C_7,_4 $ เท่ากับ 35
กรณีออกหัวสามเหรียญ _ก_ก_ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{8}{3}$, หรือ $C_8,_3 $ เท่ากับ 56
กรณีออกหัวสองเหรียญ _ก_ก_ก_ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{9}{2}$, หรือ $C_9,_2 $ เท่ากับ 36
กรณีออกหัวเหรียญเดียว เรียงได้ 10 วิธี
กรณีออกก้อยหมด เท่ากับ 1 วิธี
รวมแล้วเกิด$E'$ เท่ากับ $1+10+36+56+35+6 =144$
$P(E')=\frac{144}{1024} =\frac{9}{64} $
$Sample Space$ คือเหตุการณ์ของการโยนเหรียญ10ครั้ง
$n(S)=2^{10}=1024$
$P(E)=1-P(E')\quad 1-\frac{9}{64} =\frac{55}{64} $

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Delighted

2. จงหาจำนวนสับเซต {${a_{1},a_{2},a_{3}}$} ของเซต {1,2,3,...,14} ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$

ผมเข้าใจว่าโจทย์ข้อนี้ต้องการถามว่ามีเซต $\left\{\,a_1,a_2,a_3\right\} $ เกิดขึ้นได้กี่เซต ตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้ โดยให้$\quad a_1,a_2,a_3 \quad \epsilon \quad\left\{\,1,2,3,...,14\right\} $....ประยุกต์เรื่องของวิธีการนับ
เราหยิบตัวเลขสามตัวเลขจากเซต$\left\{\,1,2,3,...,14\right\} $มาสร้างเป็นเซตได้เท่ากับ $\binom{14}{3} $ เท่ากับ $364$ เซต ในจำนวนนี้มีแบ่งเป็นเงื่อนไขได้คือ
1.$a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$
2.$a_{2}-a_{1}\leqslant 2$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$
3.$a_{2}-a_{1}\leqslant 2$ และ $a_{3}-a_{2}\leqslant 2$
4.$a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\leqslant 2$
ที่ละไว้คือ$a_{2}-a_{1}\geqslant 1$ , $a_{3}-a_{2}\geqslant 1$
ดังนั้นถ้าเราหาข้อ$2-4$ก็ได้คำตอบ

จำนวนเซตในข้อ2.เกิดขึ้นได้ $10+9=19$ เซต
จำนวนเซตในข้อ3.เกิดขึ้นได้ $12+11+11+10=44 $เซต
จำนวนเซตในข้อ4.เกิดขึ้นได้ $10+9=19$ เซต

หาจำนวนเซตในข้อ$2-4$ ได้ทั้งหมด $19+19+44=82 $เซต
ดังนั้นจำนวนเซตที่เกิดขึ้นตามเงื่อนไขของโจทย์เท่ากับ$364-82=282$ เซต

ไม่รู้ว่าคิดถูกไหม.....แต่ละข้อ หืดขึ้นคอ

[passer-by]

วิธีหนึ่งที่ทำข้อ 2 ได้คือ ใช้ slack variable หรือตัวแปรที่ปรับอสมการเป็นสมการ มาช่วยครับ

มองเงื่อนไข $ a_2 -a_1 \geq 3 $ เป็น $ a_1+3+ \varepsilon _1 = a_2$ โดย $\varepsilon _1 \geq 0 $

และ $ a_3 -a_2 \geq 3 $ เป็น $ a_2+3+ \varepsilon _2 = a_3$ โดย $\varepsilon _2 \geq 0 $

เชื่อม 2 สมการเป็นหนึ่งเดียว ดังนั้นเท่ากับว่า หาแค่ $a_1 ,\varepsilon _1 ,\varepsilon _2$ ที่สอดคล้องกับ

$ a_1+6+ \varepsilon _1+ \varepsilon _2 = a_3 \leq 14 ....(*)$

แสดงว่า $ a_1 \in \{ 1,2,3,...,8\} $

ทดได้โดยง่ายว่า ถ้า $a_1 = i \,\, ,(1 \leq i \leq 8 )$ แล้ว จะมี $ \varepsilon _1 ,\varepsilon _2 $ ที่สอดคล้องกับ (*) อยู่ $ 1+2+...+(9-i) $ แบบ

ถ้าผมทดไม่ผิด ข้อนี้ตอบ 120 ครับ

--------------------------------------------------------------------------------
p.s. หลังจากนี้ ถ้าเห็นผมเข้ามาตอบ webboard น้อยลง ก็ไม่ต้องแปลกใจนะครับ คือผมเป็นโรควุ้นในตาเสื่อม + ตาแห้ง ทำให้ต้องลด duration ในการใช้งานที่สัมผัสแสงจากเทคโนโลยี โรคนี้ยังไม่ต้องผ่าตัดครับ แต่รักษาไม่หาย และดูแลตามอาการ

อย่างไรก็ตาม สัญญาว่า ช่วงครึ่งปีหลัง จะมีของมาแจกฟรีเหมือนปีที่แล้วครับ

อ้อ อีกเรื่องครับ ใครจะส่ง pm มาหาผมช่วง 1-28 พ.ค. 2554 ส่งมาได้ แต่ผมจะตอบให้หลังจาก 28 พ.ค. นะครับ เพราะ ช่วงนั้น ผมลาบวชครับ

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณpasser-by....สงสัยอยู่เหมือนกันว่าหลังๆไม่ค่อยได้เขียนตอบอะไร
ยังไงก็ขอภาวนาเอาใจช่วยให้โรคที่เป็นอยู่ได้ทุเลาอาการโดยเร็วครับ
และขออนุโมทนาบุญล่วงหน้ากับการบวชครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

p.s. หลังจากนี้ ถ้าเห็นผมเข้ามาตอบ webboard น้อยลง ก็ไม่ต้องแปลกใจนะครับ คือผมเป็นโรควุ้นในตาเสื่อม + ตาแห้ง ทำให้ต้องลด duration ในการใช้งานที่สัมผัสแสงจากเทคโนโลยี โรคนี้ยังไม่ต้องผ่าตัดครับ แต่รักษาไม่หาย และดูแลตามอาการ

ไม่รู้ว่า คุณ passer-by จะได้กลับมาอ่านข้อความนี้หรือเปล่านะครับ

ผมอยากทราบอาการของโรคหน่อยครับ เพราะผมสงสัยตัวผมเองเหมือนกัน แต่ก็ยังไม่ไปหาหมอ

คือผมมีอาการ มองในอากาศเห็นเป็น จุด ๆ เส้น ๆ หยัก ๆ ลอยอยู่ในอากาศ ถ้าไม่สังเกตุก็จะไม่รู้สึกอะไร

บางที่ก็มีแสงไฟ วาบนิด ๆ ทางขวา หรือซ้าย ของหางตา และตาข้างขวา มองเห็นสีไม่สดใสเหมือนตาข้างซ้าย (ไม่มากนัก)

คุณ passer-by ปรึกษาหมอมาแล้วว่าไม่มีทางรักษาให้หายเลยหรือครับ

ขอบคุณครับ

ป.ล. ขออนุโมทนาล่วงหน้าในการบวชด้วยคนครับ

[หยินหยาง]

#10

ลองศึกษาจากที่นี่ดูครับ ความเห็นผมน่าจะรีบปรึกษาจักษุแพทย์ครับ

http://www.uniserv.buu.ac.th/forum2/...?TOPIC_ID=2510
http://www.thaiclinic.com/cgi-bin/wb...num=1192544150

ปล. ห้ามอ่านต่อเนื่อง นะครับ ควรพักสายตาบ้างด้วยครับ

ร่วมอนุโมทนาบุญด้วยอีกคนครับ

[lek2554]

ขอบคุณ ท่านหยินหยางครับ ช่วยหา link มาให้อ่าน

ผมคงอายุมากแล้ว และใช้สายตามากมาตั้งแต่เด็ก รวมทั้งใช้ com มาตั้งแต่เข้ามหาวิทยาลัย ปี 2526 ตอนทำงานก็ใช้ com วันละหลายชั่วโมง ทั้งวันทั้งคืนก็บ่อย ๆ

อยากฝากน้อง ๆ บนบอร์ดนี้ ดูแลรักษาสุขภาพดวงตากันด้วยนะครับ อย่าจ้องหน้าจอเป็นระยะเวลานาน ๆ พักสายตาเสียบ้างครับ

[poper]

ข้อ 2 ผมไล่เอาเลยครับ
$a_1=1,--->a_2=4--->a_3=7,8,9,...,14$ มีทั้งหมด 8 เซต
$a_1=1,--->a_2=5--->a_3=8,9,10,...,14$ มีทั้งหมด 7 เซต
$a_1=1,--->a_2=6--->a_3=9,10,11,...,14$ มีทั้งหมด 6 เซต
.
.
.
เป็นแบบนี้จนถึง
$a_1=1--->a_2=11--->a_3=14$ มี 1 เซต รวมกรณี $a_1=1$ มีทั้งหมด 36 เซต
พอลองไล่ กรณี $a_1=2,a_1=3,...,a_1=8$ จะเห็นว่ารูปแบบของจำนวนสับเซตคือ
$(8+7+6+5+...+1)+(7+6+5+..+1)+(6+5+4+..+1)+...(2+1)+1=120$ เซตครับ

[กิตติ]

$ a_1+6+ \varepsilon _1+ \varepsilon _2 = a_3 \leq 14 ....(*)$
แสดงว่า $ a_1 \in \{ 1,2,3,...,8\} $ โดย $\varepsilon _1,\varepsilon _2 \geq 0 $

ผมขอลองทำต่อแล้วกัน
ดังนั้น $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 8-a_1$
จากนั้นแทนค่า$a_1$ลงไปจะได้อสมการทั้งหมด 8 อสมการตามค่าของ$a_1$
เริ่มจากค่า$a_1$ที่มากที่สุดก่อน
$a_1=8$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 0$.....มีได้เซตเดียวคือ$\varepsilon _1, \varepsilon _2=0$
$a_1=7$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 1$......เกิด2กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$.....เกิดได้ 2เซต รวมแล้วได้$1+2=3$ เซต
$a_1=6$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 2$....เกิด3กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกและกรณีสองแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$.....ถ้าประยุกต์เรื่องการแจกของแบบไม่มีคนได้ของ จะได้ว่าเซตที่เกิดขึ้นในกรณีนี้เท่ากับ$\binom{2+2-1}{2-1}=\binom{3}{1} $เกิดได้อีก 3เซต รวมแล้วได้$1+2+3=6$ เซต

สังเกตว่าเป็นไปตามที่คุณpasser-byได้เขียนไว้ จะเกิดกรณีเพิ่มขึ้น
$a_1=5$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+\binom{4}{1}=1+2+3+4=10 $
$a_1=4$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+\binom{5}{1}=1+2+3+4+5=15 $
$a_1=3$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+\binom{6}{1}=1+2+3+4+5+6=21 $
$a_1=2$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+6+\binom{7}{1}=1+2+3+4+5+6+7=28 $
$a_1=1$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ
$1+2+3+4+5+6+7+\binom{8}{1}=1+2+3+4+5+6+7+8=36 $

รวมทั้งหมดเกิดได้เท่ากับ $1+3+6+10+15+21+28+36=120$ เชต

ขอบคุณคุณpasser-byมากครับที่ช่วยชี้ทางสว่างให้

[MirRor]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

My_Solution

$n(S) = 2^{10} = 1024$ = จำนวนวิธีในการเขียนจำนวนในระบบฐานสอง

เช่น 1011000111

ให้ 1 แทนขึ้นหัว , 0 แทนขึ้นก้อย

หาจำนวนวิธีในเหตุการณ์ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน เช่น 1000101010 จะได้จากพจน์ที่ 10 ของลำดับ

$a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=2, a_2=3$

หรือ 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

จะเห็นว่า $a_{10} = 144$

ดังนั้น $P(E) = 1-\frac{144}{1024} = \frac{55}{64}$

a10 หาจากสูตรลำดับยังไงเหรอครับ - -"