อสมการ

[Pain 7th]

1. $a,b,c>0$ prove that $$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{8(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 11$$
2. $a,b,c\geq 0, a+b+c=3$ จงหาค่าสูงสุดของ $ {2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}}$

[Beatmania]

ข้อ 2 ถ้าให้เป็น $(a,b,c)=(0,0,3)$ มันก็ได้ต่ำสุดเลยหนิครับ (หรือว่าผมคิดตื้นไป = =)

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ข้อ 2 ถ้าให้เป็น $(a,b,c)=(0,0,3)$ มันก็ได้ต่ำสุดเลยหนิครับ (หรือว่าผมคิดตื้นไป = =)

ขอโทษครับ ๆๆ ผมพิมพ์ผิดๆ ๆ แก้ไขแล้วครับ

[จูกัดเหลียง]

กระจายเเล้ว pqr-method ครับเเละให้ $q=3$ ได้ว่าต้องหารเเสดงว่า
$$-3(3r^2+2pr-9)=3q^2-6pr+8qr^2-33r^2\ge 0$$
หรือ $3r^2+2pr\le 9$
เลี่ยนตัวเเปรให้ $x=1/a,y=1/b,z=1/c$ ได้ว่า $p=3r$ เเละ $r\ge 1$ เเละอสมการต้องการเเสดงว่า
$$\frac{1}{r}\Big(\frac{2q+3}{r}\Big)\le 9 \leftrightarrow p^2-2q\ge 3$$

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

มันต้องเป็นเเบบนี้ป่าวครับ $\le 11$กระจายเเล้ว pqr-method ครับเเละให้ $q=3$ ได้ว่าต้องหารเเสดงว่า
$$-3(3r^2+2pr-9)=3q^2-6pr+8qr^2-33r^2\le 0$$
หรือ $3r^2+2pr\ge 9$
เลี่ยนตัวเเปรให้ $x=1/a,y=1/b,z=1/c$ ได้ว่า $p=3r$ เเละ $r\ge 1$ เเละอสมการต้องการเเสดงว่า
$$\frac{1}{r}\Big(\frac{2q+3}{r}\Big)\le 9 \leftrightarrow p^2-2q\ge 3$$

มันมากกว่าเท่ากับ 11 อ่ะครับ ลองแทนตัวไหนแล้วน้อยกว่า 11 หรอครับ

[tonklaZolo]

ข้อ 2
Max 6 ป่ะครับ

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

ข้อ 2
Max 6 ป่ะครับ

ถูกแล้วครับ ลองแสดงหน่อยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเทน $a=b=1,c=2$ ก็น้อยกว่าเเล้วอ่ะครับ

ยังไงอ่ะครับ ???

[จูกัดเหลียง]

#7 ขอโทดครับ ผมผิดเอง เเก้เเล้วครับ ลบทิ้งซะ 555
ผมต้องการเเสดงว่า $$2^{3/x}-2\le \frac{-4\sqrt{2}x}{9}+\frac{4\sqrt{2}}{3}$$
ซึ่งลองใช้ wolfram เเล้วพบว่าเป็นจริง เเต่ผมเเก้ไม่ได้ จึงอยากให้ท่านเทพๆ ช่วยต่อยอดหน่อครับ
ปล.ที่จริงน่าจะ diff หาค่าต่ำสุดได้เเท้ๆ แต่กลับไม่ได้ 555+

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

1. $a,b,c>0$ prove that $$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{8(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 11$$

ใช้ $AM-GM$ ได้ $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\geqslant 3$

$ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} $
$a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

จึงได้ $\dfrac{8(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geqslant 8$
บวกกับอันแรก $ \geqslant 3$
$L.H.S$ $\geqslant 11$

[polsk133]

ท่านจูกัดเหลียงลุยลึกไปแล้ว = =

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

ใช้ $AM-GM$ ได้ $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\geqslant 3$

$ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} $
$a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

จึงได้ $\dfrac{8(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geqslant 8$
บวกกับอันแรก $ \geqslant 3$
$L.H.S$ $\geqslant 11$

ผิดหนักเลยครับ เอาอสมการมาหารกันแบบนั้นไม่ได้นะครับ

[nooonuii]

#9 เรื่องน่าปวดหัวของอสมการก็คือการทำอะไรแบบนี้นี่แหละครับ

มันดูคล้ายๆว่าจะได้แต่สุดท้ายก็ไม่ได้

คงต้องฝึกใช้อสมการพื้นฐานให้คล่องอีกสักพักแล้วจะดีขึ้นครับ

[Pain 7th]

ที่ผมเอามาถามเพราะว่า อีกไม่ถึงอาทิตย์น่าจะสอบ part แรกแล้วอ่ะครับ ยังไม่ค่อยได้เลยอ่ะ

[polsk133]

อยู่ค่ายที่ไหนหรอครับ

[Form]

$ \dfrac{(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} $
ก้อนนี้พิสูจน์หาค่าต่ำสุดยังไงหรอครับ
ผมลอง Cauchy ดูมันออกมาแต่ค่าสูงสุด = ='
ปล.ขอถามนิดนึงครับ ค่าย 1 ทุ่มวิชาไหนเยอะๆคุ้มสุดครับดูท่าบางวิชาผมจะไม่รอด 555+