มาราธอน ค่าย 1

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ไม่มีใครเล่นคอมบิเลยหรอครับ เห็นเล่นกันแต่อสมการ นัมเบอร์

ตามคำเรียกร้องครับ

1. จงหาจำนวนคำตอบที่ไม่เป็นจำนวนเต็มลบของ $$x_1+x_2+x_3+...+x_{n-1}+x_n=m$$ โดย $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_{n-1} \leq x_n$

2. ในการกระจายทวินาม $(1+0.2)^{1000}$ จะได้ $$(1+0.2)^{1000}= A_0+A_1+...+A_{1000}$$ โดยที่ $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k $ จงหาค่ามากสุดของ $A_k$

3. จงแสดงว่าในลำดับ $7,77,777,7777,...$ จะต้องมีอย่างน้อย $1$ จำนวนที่หารด้วย $2003$ ลงตัว

[จูกัดเหลียง]

ขอเดาก่อนนะครับ

สุ่มสี่สุ่มห้า

1.$\dbinom {m-\left\lceil\,\dfrac{m}{n}\right\rceil+n-1 }{n-1}$
2.$1$ ป่ะครับ

3.ได้ว่า $2003|\underbrace{7777....77}_{2001} $ครับ เเต่จุดประสงค์คุณ Pain คือ ให้ใช้ (ผมขอเดาว่า Pigeonhole principle ใช่ป่ะครับ) คอมบิสินะครับ

[polsk133]

ข้อ1ขอhintหน่อยงับ

[polsk133]

เฉลยTMO คอมบิล่าสุดให้หน่อยครับบบ

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ข้อ1ขอhintหน่อยงับ

ข้อนี้ผมก็ยังทำไม่ได้อ่ะครับ เขา hint บอกว่า generating function อ่ะครับ

[Beatmania]

ข้อ 2 อ.ศูนย์ผมเคยใช้โปรแกรม ได้ 166 ครับ

วิธีทำอย่าถามเลยครับ มึนมาก เริ่มไม่ถูกเลย T^T

[polsk133]

Hintข้อ2
ลองคิด$A_k / A_{k+1}$

ปล. Hint ทีเหมือนบอกคำตอบเลย ใจไม่กล้าห้ามอ่าน

[Pain 7th]

NT (ผมคลั่งไคล้มาก )

1. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p \equiv 2 \pmod{3}$ ถ้า $p|x^2+xy+y^2$ จงแสดงว่า $p|x,p|y$

2. ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะที่ $p=a^2+ab+2b^2$ จงแสดงว่า $p \equiv 1,2,4 \pmod{7}$

3. จงแสดงว่า $n\nmid 2^n-1$ โดยที่ $n >1$

4. หาจำนวนนับ a,b,c ซึ่ง (a,b)=(b,c)=(c,a)=1 $$b|2^a+1,c|2^b+1,a|2^c+1$$

Geometry

1.ให้ $I_a$ เป็นจุดศูนย์กลาง excircle ของ ABC ของด้าน BC โดยสัมผัสกับ BC ที่ F และ M,N เป็นจุดกึ่งกลาง BC และ AF ตามลำดับ พิสูน์ว่า $M,N,I_a$ are collinears

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

NT (ผมคลั่งไคล้มาก )

1. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p \equiv 2 \pmod{3}$ ถ้า $p|x^2+xy+y^2$ จงแสดงว่า $p|x,p|y$

2. ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะที่ $p=a^2+ab+2b^2$ จงแสดงว่า $p \equiv 1,2,4 \pmod{7}$

3. จงแสดงว่า $n\nmid 2^n-1$ โดยที่ $n >1$

4. หาจำนวนนับ a,b,c ซึ่ง $$b|2^a+1,c|2^b+1,a|2^c+1$$

Geometry

1.ให้ $I_a$ เป็นจุดศูนย์กลาง excircle ของ ABC ของด้าน BC โดยสัมผัสกับ BC ที่ F และ M,N เป็นจุดกึ่งกลาง BC และ AF ตามลำดับ พิสูน์ว่า $M,N,I_a$ are collinears

ผมก็เหมือนกันครับ

1.Inverse Modulo
2.จัด Modulo ดูดีๆครับ
3.พิจารณา prime ที่น้อยที่สุดที่หาร n ลงตัว

[จูกัดเหลียง]

น้องเจ ยอดอัจฉริยะ ข้อเเรกจะ Inverse modulo ไงอ่ะครับ ใบ้พี่หน่อย
มั่วๆไปเเบนี้ได้ป่ะครับ

Hide

จาก $p=3k+2$เเละ $x^2+xy+y^2\equiv 0\pmod p$ได้ว่า $(xy)^2\Big((x^{-1})^2+(y^{-1})^2+(xy)^{-1}\Big)\equiv 0\pmod p$
assume ว่า $p\not |x,y$ จึงมี $a,b$ ที่ $ax\equiv by\equiv 1\pmod p$ ดังนั้นได้ว่า $a^2+b^2\equiv -ab \pmod p$
$$2+(ay)^2+(bx)^2\equiv(x^2+y^2)(a^2+b^2)\equiv (-ab)(-xy)\equiv 1\pmod p$$
$(ay+bx)^2\equiv -3 \pmod p$
เเต่จากที่ $n^2\equiv -2m\pmod p$ ทุกๆ $p,n\in\mathbb{N}$ เเละ $p=3k+2$ จึงขัดเเย้ง ดังนั้น $p|x,y$

เเบบนี้ได้ป่าวครับ จริงๆ FLT ผมไม่รู้จะเอาไปเกี่ยวกับ $p=3k+2$ ได้ไงเลยน่ะครับ คงต้องขอลองคิดดูก่อน

[Beatmania]

@พี่ Jr. เอา (x-y) ไปคูณครับ แล้วก็ใช้ FLT นิดนึง
ข้อ 4. ต้องส่อง จน. เฉพาะปะครับ ???
ไม่ทีครับ ตอนแรกที่โพสคิดผิด - -

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

น้องเจ ยอดอัจฉริยะ ข้อเเรกจะ Inverse modulo ไงอ่ะครับ ใบ้พี่หน่อย
มั่วๆไปเเบนี้ได้ป่ะครับ

Hide

จาก $x^2+xy+y^2\equiv 0\pmod p$ได้ว่า $(xy)^2((x^{-1})^2+(y^{-1})^2+(xy)^{-1})\equiv 0\pmod p$

จริงๆ มันไม่ต้อง inverse modulo เลยครับแค่ FLT ก็โอเคแล้วครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

@พี่ Jr. เอา (x-y) ไปคูณครับ แล้วก็ใช้ FLT นิดนึง
ข้อ 4. ต้องส่อง จน. เฉพาะปะครับ ???

ยังไม่บอกดีกว่าครับเพราะพี่รู้ว่าน้องได้แล้ว บอกไปเดี๋ยวคนอื่นหมดสนุก

ปล. น้องไปค่าย สสวท มาก็เอาโจทย์มาแชร์หน่อยนะครับ

[จูกัดเหลียง]

#148,149 ถ้ายังไงลอง Hint ข้อ 4 ด้วยครับ ผมโง่ที่สุดในโลกละ
ซ่อน ไว้ก็ดีครับ เผื่อท่านอื่นๆจะได้ไม่เสียอัตถรส ข้อ NT 2,3 ผมก็ห่วยมากอ่ะครับ ยาวเป็นหางว่าวเลย

[polsk133]

ทำเป็นแต่ข้อ3. เองครับ

[Beatmania]

ข้อ 4. ที่เอามา มาจาก 104 Problem ของ Titu ปะครับ ???
ถ้าใช่ ในเล่มนั้นเค้ามีเงื่อนไขเพิ่มนะครับ ว่า ต้องเป็น จน. เฉพาะสัมพัทธ์กัน