Number หารลงตัวและกำลังสองสมบูรณ์

[Pain 7th]

1. ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $4ab-1|4a^2-1$ แล้ว $a=b$

2.จงแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก $m,n$ ใดๆ จะไม่มี$(m,n)$ ที่ทำให้ $4mn-m-n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[Keehlzver]

โจทย์ข้อ 1 เป็น IMO 2007 ข้อ 5 ครับ

แต่ต้องเป็น $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$ มีกำลังสองด้วย

[Thgx0312555]

2 ::
Lemma ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $n \in \mathbb{N}$ ถ้า $p \equiv 3 \pmod 4$ แล้ว $p \nmid (n^2+1)$

Proof

Let $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$
FLT; $n^{4k+3} \equiv n \pmod p$
$n^{4k+4} \equiv n^2 \pmod p$

จาก $p \ | \ (n^2+1)$
$p \ | \ (n^4-1)$
$n^{4k+4} \equiv 1 \pmod p$

$\therefore n^2 \equiv 1 \pmod p$
ซึ่งไปแทนค่ากลับจะขัดแย้งกับ $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$

สมมติมี $a,b,k \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $4ab-a-b=k^2$
จัด...
$(4a-1)(4b-1)=(2k)^2+1$
โดย Lemma ถ้ามี prime $p$ ซึ่ง $p \ | \ (4a-1)(4b-1)$ แล้ว $p=2$ หรือ $p \equiv 1 \pmod 4$
Its clear that $p \not= 2$
จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $(4a-1)(4b-1)$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$

ส่งผลให้จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $4a-1$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$ ด้วย
$\because 4a-1 \not= 1$
$4a-1$ เขียนได้ในรูปผลคูณจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $p \equiv 1 \pmod 4$

$4a-1 \equiv 1 \pmod 4$
...ซึ่งขัดแย้ง

จึงไม่มี $(m,n)$ ซึ่ง $4mn-m-n$ is a perfect square Q.E.D

[gnap]

ขอโทษนะครับ ผมไม่เข้าใจครับTT"

[จูกัดเหลียง]

คุณ Thgx เก่งจังอ่ะครับ
ข้อเเรกตอนนี้ได้เเค่ว่า $p|a-b$ เองอ่ะครับ (ซึ่งผมสมมุติว่า $p|4ab-1$) เเล้วมันก็ติดไปติดมา 555
ช่วย Hint หน่อยครับ

[Keehlzver]

1.พิสูจน์ว่า $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$ ก็ต่อเมื่อ $4ab-1 \mid (a-b)^2$ (พิสูจน์ทั้งไปและกลับ)
2.สมมติ $a,b$ ไม่เท่ากัน
3.$S=\left\{\,(x,y) | x,y \in \mathbb{N} \wedge \frac{(x-y)^2}{4xy-1}=k \right\}$ และ $(a,b) \in S$
4.$T=\left\{\,x+y | (x,y) \in S\right\}$
5.$S,T$ ไม่เป็นเซตว่าง
6.$T$ มีสมาชิกน้อยสุด ให้ $(A,B) \in S$ สมมติ $A+B$ เป็นสมาชิกน้อยสุด WLOG $A > B$
7.จาก 3 ได้ $\frac{(x-B)^2}{4xB-1}=k$ จะได้ $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$ สมมติให้มีรากเป็น $s,t$ และ $s \geq t$
8. ใช้ความสัมพันธ์ของราก-สัมประสิทธิ์ $s+t=... , st=...$ และ $(s,B),(t,B) \in S$
9. $(A,B) \in S$ จะได้ $\frac{(A-B)^2}{4AB-1}=k$ ได้ $A$ เป็นราก $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$
10. จะได้ $A=s$ หรือ $A=t$ ซึ่งพิสูจน์ต่อว่าเป็นไปไม่ได้ (ใช้ความที่ $A+B$ น้อยสุดมาหาข้อขัดแย้งครับ)

Cr. อ.ดำรง

[BLACK-Dragon]

1. ขอบคุณ คุณ Kheelzver คีย์ของอันนี้น่าจะเป็นหาข้อขัดแย้งที่บอกว่ามีค่าน้อยสุดแหละครับ

วิธีผมนะ เราต้องพิสูจน์ให้ได้ก่อนเลยว่า $4ab-1|(4b^2-1)^2$ ลงตัวเหมือนกัน คราวนี้ลองสมมุติ 2 กรณีคือ $a>b,b>a$ แล้วใช้ข้อขัดแย้งที่คุณ Kheelzver บอกมาครับ

คาราวะเลยครับ