ข้อสอบ สพฐ. รอบที่ 2 ปี 2553

[bakured]

ข้อ6 *0*...
นั่งการจายเรียงเลยครับ เหอๆ--*
$2(x^4+y^4+z^4+w^4)-(x^2+y^2+z^2+w^2)^2+8xyzw=10373$
=
$(2x^4+2y^4+2z^4+2w^4)-(x^4+y^4+z^4+w^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2x^2w^2+2y^2z^2+2y^2w^2+2z^2w^2)+8xyzw=10373$
=
$(x^4+y^4+z^4+w^4)-2(x^2y^2+x^2z^2+x^2w^2+y^2z^2+y^2w^2+z^2w^2)+8xyzw=10373$
=
$(x^4-2x^2y^2+y^4)+(z^4-2z^2w^2+w^4)-2(x^2z^2+x^2w^2+y^2z^2+y^2w^2)+8xyzw=10373$
แล้วก็ดึงตัวร่วมตรงกำลัง2 4พจน์

$(x^2-y^2)^2+(z^2-w^2)^2 -2(z^2+w^2)(x^2+y^2) +8xyzw=10373$
=
$(x^2-y^2)^2-2(x^2-y^2)(z^2-w^2)+(z^2-w^2)^2-4y^2z^2-4w^2x^2+8xyzw=10373$
สังเกตุดูกำลังสองสมบูรณ์เอานะครับ
$[(x^2-y^2)-(z^2-w^2)]^2$-$[2(yz-wx)]^2$=10373
แยกผลต่างกำลัง2ต่อได้
$(x^2-y^2-z^2+w^2+2yz-2xw)$*$(x^2-y^2-z^2+w^2-2yz+2xw)$=10373
จัดรูปใหม่ต่อเป็น
[$(x-w)^2-(y-z)^2$][$(x+w)^2-(y+z)^2$]=10373
แยกผลต่างกำลัง2ต่อ
(x-w+y-z)(x-w-y+z)(x+w+y+z)(x+w-y-z)=10373
*0*...โอยแทบตาย--* ที่เหลือก็ลองแยกตัวประกอบแล้วเทียบเอาละกันครับ...
เขียนข้อนี้แทบตาย..แค่กว่าจะคิดออกหัวก็แทบระเบิดแระ--*...ถ้ามีผิดพลาดตรงไหนในการพิมพ์นิผมขออภัยด้วยนะครับไม่อยากจะแก้แล้ว(มึน--*)

[jabza]

โหย นับถือๆ วิธีคุณbakured ถึกได้ใจ ผมก็ทำมาได้ครึ่งหนึ่ง แต่คิดไม่ถึงว่ามันจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ เลยมัวไปหาเอกลักษณ์ซะนาน

ทำออกมาแล้วได้ x = 19 , y = 2 , z = 7 , w = 13 จากโจทย์หาxy+yz+wx+wz = 390

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

โหย นับถือๆ วิธีคุณbakured ถึกได้ใจ ผมก็ทำมาได้ครึ่งหนึ่ง แต่คิดไม่ถึงว่ามันจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ เลยมัวไปหาเอกลักษณ์ซะนาน

ทำออกมาแล้วได้ x = 19 , y = 2 , z = 7 , w = 13 จากโจทย์หาxy+yz+wx+wz = 390

ค่าที่ได้เป็นเพียงชุด หนึ่งในหลายคำตอบครับเพราะโจทย์ไม่ได้ระบุว่า x,y,z,w เป็นจำนวนเต็ม และค่า xy+yz+wx+wz ก็จะมีหลายค่าไปด้วย

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ค่าที่ได้เป็นเพียงชุด หนึ่งในหลายคำตอบครับเพราะโจทย์ไม่ได้ระบุว่า x,y,z,w เป็นจำนวนเต็ม และค่า xy+yz+wx+wz ก็จะมีหลายค่าไปด้วย

อ่า อืมใช่คับ ลืมคิดถึงข้อนี้ไปเลย แล้วพี่หยินหยางพอมีแนวทางที่ไม่ถึกกว่านี้ไหมคับ

[หยินหยาง]

ถ้าจำไม่ผิดโจทย์ลักษณะนี้คล้ายๆโจทย์โอลิมปิกของ สสวท. ก็คงทำแบบนี้ครับ ผมยังไม่ได้ลองคิดหาวิธีขี้เกียจๆทำดู(หาเทคนิค)ครับ เพียงแต่ตอนแรกที่ผมตอบกระทู้ว่าอย่าเสียเวลาทำเพราะรู้ว่าโจทย์ยังขาดเงื่อนไขที่ทำให้ได้คำตอบเดียว ครับ

[James007]

ผมรู้สึกว่า...
ข้อข้างบน โจทย์กำหนดว่า x,y,z,w เป็นจำนวนเต็มบวก ด้วยนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

14.$\sqrt{1+2008^2+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$Find A+103$

$\sqrt{1+2008^2+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{1^2+2\cdot 2008+2008^2 -2\cdot 2008+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{(1+2008)^2 -2\cdot 2008+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{(2009)^2 -2\cdot 2008+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{(2009 -\frac{2008}{2009})^2 } + \frac{2008}{2009}= A$

$2009 - \frac{2008}{2009} + \frac{2008}{2009}= A$

$2009 =A$

$A+103 =2009+103 = 2112$

[GoRdoN_BanksJunior]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$\sqrt{1+2008^2+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{1^2+2\cdot 2008+2008^2 -2\cdot 2008+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{(1+2008)^2 -2\cdot 2008+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{(2009)^2 -2\cdot 2008+\frac{2008^2}{2009^2} } + \frac{2008}{2009} = A$

$\sqrt{(2009 -\frac{2008}{2009})^2 } + \frac{2008}{2009}= A$

$2009 - \frac{2008}{2009} + \frac{2008}{2009}= A$

$2009 =A$

$A+103 =2009+103 = 2112$

เย้! มั่วถูกครับ

แล้วข้อ 5 เหลี่ยมตอบอะไรครับ

แล้วพอรู้มั้ยครับว่าประกาศผลเมื่อไร

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GoRdoN_BanksJunior

เย้! มั่วถูกครับ

แล้วข้อ 5 เหลี่ยมตอบอะไรครับ

แล้วโจทย์ว่ายังไงครับ ผมไม่ได้ไปสอบด้วย ไม่รู้หรอกว่าข้อไหนเป็นข้อไหน

(เอาโจทย์แบบชัวร์ๆนะครับ แบบจำมาผิดๆ ไม่เอา)

[หยินหยาง]

#99
ผมเข้าใจว่าไม่ได้ไปสอบ แต่เป็นคนออกข้อสอบไม่ใช่หรือ เห็นทำเฉลยให้หมด เข้าใจผิดอีกแล้วหรือ

[GoRdoN_BanksJunior]

ใครมีฉบับเต็มทำเป็นไฟล์ PDF ให้หน่อยได้ไหมครับ ขอบคุณครับ

[James007]

ข้อห้าเหลี่ยม เป็นข้อ 5 คะแนน ข้อสุดท้ายครับ

โจทย์บอกว่า ห้าเหลี่ยม ABCDE แนบในวงกลม โดยที่จุด A อยู่ห่างจากด้าน BC, CD และ DE อยู่ ..., ... และ ... หน่วย (ตัวเลขประมาณ สามพันกว่า สี่พันกว่า แล้วก็สามพันกว่า เลขเยอะจำไม่ได้)
จงหาระยะห่างระหว่างจุด A กับส่วนของเส้นตรง BE

โพสต์โจทย์เพิ่มครับ...

จุด A(0,0), B(0,5), C(5,5) และ D(5,0) เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD จุด E(0,2) และ F อยู่บนด้าน AB และ CD ตามลำดับ
โดยที่ส่วนของเส้นตรง EF แบ่งพื้นที่รูป ABCD ออกเป็นสองส่วนที่เท่ากัน
ต่อ FE ออกไปทาง E ตัดแกน X ที่จุด G จงหาสามสิบเท่า (น่าจะสามสิบ หรือ ร้อยเท่า) ของ $\frac{AE}{AG}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

โพสต์โจทย์เพิ่มครับ...

จุด A(0,0), B(0,5), C(5,5) และ D(5,0) เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD จุด E(0,2) และ F อยู่บนด้าน AB และ CD ตามลำดับ
โดยที่ส่วนของเส้นตรง EF แบ่งพื้นที่รูป ABCD ออกเป็นสองส่วนที่เท่ากัน
ต่อ FE ออกไปทาง E ตัดแกน X ที่จุด G จงหาสามสิบเท่า (น่าจะสามสิบ หรือ ร้อยเท่า) ของ $\frac{AE}{AG}$

จากรูป $\frac{AE}{AG} = \frac{2}{10}$

หรือหาจากสามเหลี่ยมคล้าย

สามเหลี่ยม GEA คล้าย สามเหลี่ยม GFD

ให้ GA = x

$\frac{2}{3} = \frac{x}{x+5}$

$x =10$

$\frac{AE}{AG} = \frac{2}{10}$


จะกี่เท่าก็คูณไปครับ ข้อแจกคะแนน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

12.(ข้อ 4 คะแนน) สม... (ชื่อ) เกิดเดือนมกราคม สม...บอกเพื่อนของเขาว่า วันเกิดของเขาเป็นพหูคูณของ 3 หรือ สอดคล้องกับสมการ $(x^2-5x+6)^3+(x^2-9x+20)^3=8(x^2-7x+13)^3$
ถ้าความน่าจะเป็นที่เพื่อนจะทายวันเกิดถูกเป็น $\frac{a}{b}$ โดยที่ ห.ร.ม. ของ $a$ และ $b$ เป็น 1 จงหาค่าของ $a+b$

ข้อนี้ ถ้าเป็นในห้องสอบ ผมตอบ 41 ครับ

คิดแบบเด็กประถมโดยตีความ "ความน่าจะเป็นที่เพื่อนจะทายวันเกิดถูกเป็น $\frac{a}{b}$ "

ทั้งหมดมี 31 วัน (ก็คือ b)

วันเกิดของเขาเป็นพหูคูณของ 3 ซึ่งก็มี 10 วัน

โอกาสตอบถูกก็เป็น 10 วัน จาก 31 วัน

ความน่าจะเป็นที่เพื่อนจะทายวันเกิดถูกเป็น $\frac{10}{31}$

$a+b = 10+31 = 41$

เอาง่ายๆอย่างนี้แหละ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

4.. $2^4+2^7+2^n$ จงหาจำนวน n ที่ทำให้จำนวนนี้เป็นกำลัง 2 สมบูรณ์ n คือ?

$2^4+2^7+2^n = k^2$

$16+128+2^n = k^2$

$144+2^n = k^2$

$k^2 - 2^n =144 $

$(k-2^{\frac{n}{2}})(k+2^{\frac{n}{2}}) = \{1,144\}, \ \{2,74\}, \ \{4,36\}, \ \{6,24\}, \ \{8,18\}, \ \{12,12\}$

ลองแทนค่าไปเรื่อยๆ จะมีหนึ่งตัวที่เข้าเงื่อนไข คือ

$(k-2^{\frac{n}{2}})(k+2^{\frac{n}{2}}) = (4)(36)$


$(k-2^{\frac{n}{2}}) = 4 $...(1)

$(k+2^{\frac{n}{2}}) = 36 $...(2)

(1)+(2) $k = 20$

จาก (1) $ \ \ 20 - 2^{\frac{n}{2}} = 4 $

$16 = 2^{\frac{n}{2}} $

$256 = 2^n$

$2^8 = 2^n$

$n=8$