Algebra Marathon

[kanakon]

อึ้งไปประมาณ 5 วินาที

ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง
$$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2=(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b})^2$$

จะได้

$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2c}{b}=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{b^2}+\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{a}$$

$\because$ $$\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{a}=\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2c}{b}$$

$\therefore $ $$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{b^2}$$

ขอบคุณ คุณ nooonuii มากครับ

[kanakon]

36. find the real roots of the equation.

$$x^2+2ax+\frac{1}{16} = -a +\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )} $$

[nooonuii]

ผมก็อึ้งกับคำตอบเหมือนกันครับ แต่ตอนกระจายกำลังสองน่ะครับ รู้สึกว่าเทอมที่มีเลข 2 มันสลับข้างกันอยู่

งั้นเอาใหม่ ยากกว่าเดิมนิดนึง

37. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=
\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}$
จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ $$\Big(\frac{a}{b}\Big)^n+\Big(\frac{b}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{a}\Big)^n=\Big(\frac{b}{a}\Big)^n+\Big(\frac{a}{c}\Big)^n
+\Big(\frac{c}{b}\Big)^n$$

[Mathophile]

37. จาก $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}}$

ดังนั้น $\displaystyle{\Big(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\Big)+\Big(\frac{b}{c}-\frac{c}{b}\Big)+\Big(\frac{c}{a}-\frac{a}{c}\Big)=0}$

คูณตลอดด้วย $abc$ จะได้ $0=c(a^2-b^2)+a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)=(a-b)(b-c)(c-a)$

ดังนั้น $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$

โดยไม่เสียนัยสำคัญ ให้ $a=b$ ฉะนั้น
$$\displaystyle{\Big(\frac{a}{b}\Big)^n+\Big(\frac{b}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{a}\Big)^n=1+\Big(\frac{a}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{ a}\Big)^n=\Big(\frac{b}{a}\Big)^n+\Big(\frac{a}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{b}\Big)^n}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

36. find the real roots of the equation.

$$x^2+2ax+\frac{1}{16} = -a +\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )} $$

ข้อนี้โหดมากเลยครับ คิดเลขกันหัวระเบิดเลย ขอตอบเฉพาะแนวคิดนะครับ

จัดรูปให้อยู่ในรูปพหุนามกำลังสองในตัวแปร $a$ จากนั้นก็แก้สมการกำลังสองหาค่า $a$ ในรูปของ $x$ ก็จะได้ตัวประกอบยุ่งๆออกมา เสร็จแล้วก็แก้สมการกำลังสองธรรมดาครับ คำตอบที่ได้จะขึ้นอยู่กับค่า $a$ ครับ ซึ่งต้องแยกกรณีพิจารณาว่าอยู่ในช่วงไหนบ้าง

[nooonuii]

38. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า พหุนาม $P(x)=x^3+ax-b$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

38. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า พหุนาม $P(x)=x^3+ax-b$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว

ผมเจอวิธีของคาดานในการหารากของ $ax^3+bx^2+cx+d$ โดยให้ $x=t-\frac{b}{3a} $ จะจัดได้ในรูป $t^3+pt+q$ โดยสรุปคือรากทั้ง 3 จะเป็นจำนวนจริงอยู่ 1 จำนวนและ
จำนวนเชิงซ้อนอีก 2 จำนวนแต่ solution ค่อนข้างยุ่งยากเหลือเกิน

[nooonuii]

ข้อ 38 มีวิธีที่ง่ายกว่านั้นและใช้แค่การวิเคราะห์ธรรมดาครับ

[passer-by]

38. เนื่องจาก พหุนามดีกรี 3 และ สปส. เป็นจำนวนจริง ดังนั้น ย่อมมีรากจริงอย่างน้อย 1 รากอยู่แล้ว เท่ากัับว่า การพิสูจน์ Existence จบไป ต่อไปก็เหลือแต่พิสูจน์่ uniqueness

ให้ $ r_1 ,r_2 $ เป็นรากจริง 2 รากของ $P(x)$ ดังนั้น $$ 0 = P(r_1)-P(r_2)= (r_1-r_2)(r_1^2+r_1r_2+r_2^2 +a) $$ เพราะวงเล็บหลังเป็น positive number ดังนั้น $ r_1=r_2 $

NOTE: ในส่วนของการ show uniqueness สามารถทำได้อีกวิธีโดยใช้ Rolle 's Theorem มาอ้างครับ

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

36. find the real roots of the equation.
$$x^2+2ax+\frac{1}{16} = -a +\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}$$

$\begin{array}{rcl}
\therefore x^2+2ax+a^2&=&a^2-a-\frac{1}{16}+\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}\\
(x+a)^2&=&a^2+x-\frac{1}{16}+\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}-x-a\\
(x+a)^2+(x+a)&=&a^2+x-\frac{1}{16}+\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}\\
\end{array}$
ให้ $p=x+a,q=\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}$ จะได้ $p^2+p=q^2+q\Rightarrow q=p,-(p+1)$
นั่นคือ $\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}=x+a,-(x+a+1)$
ดังนั้น $\displaystyle{x=\frac{2-4a\pm \sqrt{(16a^2-16a+3)}}{4},\frac{-2-4a\pm \sqrt{(16a^2-16a-13)}}{4}}$

ส่วนการเช็คว่า $x$ ที่ได้จะเป็นจำนวนจริงหรือไม่และเป็นเมื่อไหร่ คงต้องให้ท่านอื่นมาช่วยเช็คแล้วล่ะครับ ตอนนี้ตาลายแล้วครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

38. เนื่องจาก พหุนามดีกรี 3 และ สปส. เป็นจำนวนจริง ดังนั้น ย่อมมีรากจริงอย่างน้อย 1 รากอยู่แล้ว เท่ากัับว่า การพิสูจน์ Existence จบไป ต่อไปก็เหลือแต่พิสูจน์่ uniqueness

ตรงนี้คุณ passer-by ใช้ทฤษฏีอะไรหรอครับ และมีแหล่งค้นคว้าศึกษาเกี่ยวกับทฤษฏีนี้ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

38. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า พหุนาม $P(x)=x^3+ax-b$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว

My Solution:

ส่วน existence พิสูจน์เหมือนคุณ passer-by ครับ
ส่วน uniqueness จะพิสูจน์โดยใช้ข้อขัดแย้ง
สมมติว่าพหุนามมีรากจริงทั้งสามราก สังเกตได้ไม่ยากว่าทุกรากเป็นจำนวนจริงบวก
แต่เราทราบว่าผลบวกของรากทั้งสามมีค่าเป็นศูนย์ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง

ใครจะต่อข้อต่อไปเชิญเลยครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

38. เนื่องจาก พหุนามดีกรี 3 และ สปส. เป็นจำนวนจริง ดังนั้น ย่อมมีรากจริงอย่างน้อย 1 รากอยู่แล้ว เท่ากัับว่า การพิสูจน์ Existence จบไป ต่อไปก็เหลือแต่พิสูจน์่ uniqueness

ตรงนี้คุณ passer-by ใช้ทฤษฏีอะไรหรอครับ และมีแหล่งค้นคว้าศึกษาเกี่ยวกับทฤษฏีนี้ไหมครับ

ก็วิเคราะห์ตามปกติครับ

ลองนึกถึงความเป็นจริงว่า พหุนามมี3 ราก แยกออกมาเป็น $ (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) $
ถ้า ทั้ง 3 รากเป็นจำนวนจินตภาพ ทำให้ผลคูณทั้ง 3 วงเล็บ กลายเป็น พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์บางตัวเป็นจำนวนจินตภาพ ซึ่งขัดแย้งกัับโจทย์ ดังนั้นต้องมีรากจริงอย่างน้อย 1 รากครับ

[pathpot]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

38. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า พหุนาม $P(x)=x^3+ax-b$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว

ให้รากสมรากของ p(x) เป็น p,q,r

จะได้
$pq+qr+rp = a >0$
และ
$p+q+r = 0$
นั่นคือ
$p^2+q^2+r^2 = -2(pq+qr+rp)$
$p^2+q^2+r^2 = -2a < 0$
แต่จำนวนจริงยกกำลังสองมากกว่า 0 เสมอ
จะได้ว่าต้องมีจำนวนเชิงซ้อน
จาก P(x) มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนจริง
จะได้ว่า conjugate มันก็ต้องเป็นราก และมีรากจริงเพียง 1 ราก

[nooonuii]

ในเมื่อไม่มีใครตั้ง ผมก็ขอปั่นกระทู้ต่อ

39. จงพิสูจน์ว่าระบบสมการ
$$ \begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} & = & 1 \\ x\, + y\, +\, z & = & 2 \\ x^2+y^2+z^2 & = & 3 \end{array}$$
ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง

[kanakon]

จากสมการที่ 1 และ 2 และ 3จะได้ $xy+yz+zx=xyz=\frac{1}{2} $

จาก AM.GM. จะได้ $$\frac{x+y+z}{3}\geq\sqrt[3]{xyz}$$

$$\therefore {x+y+z}\geq\sqrt[3]{\frac{27}{2} }>2$$

ซึ่งขัดแย้งกับสมการที่ 2 จึงไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง