Functional Equation

[จูกัดเหลียง]

ถ้า $f(x)=x^3+x$ เเละ $(gof^{-1})(x)=x^2$
จงหา $g(x)$

คือช่วยดูให้หน่อยครับ

my_soln

เเทน $f(x)=y$ $\Rightarrow$ $f^{-1}(x)\rightarrow $ $x=y^3+y$
$\rightarrow$ $y^3+y-x=0$ ให้ $y=u+v$
$\rightarrow$ $u^3+v^3=x ; 3uv(u+v)=-1$
$\rightarrow$ $u+v=y=\sqrt[3]{{x}-1}$
$\rightarrow$ $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{{x}-1}$
$\rightarrow$ $g(x)=x^6+2x^3+1$

[Yuranan]

จาก $f(x)$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจึงได้ว่า $f^{-1}(f(x))=x$ จึงได้ $g(x)=(f(x))^2=(x^3+x)^2=x^6+2x^4+x^2$ คับ