1st RIMO

[LightLucifer]

DAY1



DAY2

[-Math-Sci-]

Day2

1. Find the sum of all positive integers n such that $2012+n^2$ is a perfect square .


$2012+n^2 = k^2 $ , $\exists k \in \mathbb{Z} $ , $k>n$

$2012 = k^2-n^2 = (k-n)(k+n) $

$ 2012 = 1*2*2*503 $

$k-n < k+n $ และ $k-n > 0 $ , $k+n > 0$

Case1 $k-n = 2$ , $k+n = 2*503 = 1006$

solve $ k= 504 $ , $n = 502$

Case2 $k-n = 4$ , $k+n = 503$

solve k และ n ไม่เป็นจำนวนเต็ม

Case3 $k-n =1$ , $k+n=2012$

solve k และ n ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น sum ของ n = 502

[จูกัดเหลียง]

Day I Problems2: $f:R\rightarrow R$ Find all function $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$$
take $x=0$ we get $$f(f(y))=f(0)^2+y$$ and we take $y=-f(0)^2,f(y)=k$
Then get $f(k)=0$ so we can take that $x=y=k$ therefore $f(0)=0$
if we take $y=0$ we get $$f(xf(x)+0)=f(x)^2+0\leftrightarrow f(xf(x))=f(x)^2...(i)$$
or we take $x=0$ get $$f(f(y))=y\rightarrow f(f(x))=x...(ii)$$
The equation $(i)$ we take $x=f(x)$ then the equation is the following $f(xf(x))=x^2$
so by $(ii)$ we conclude that $f(x)=x,-x$

[จูกัดเหลียง]

Day II Problems 13: Find value of $a^2+b^2$ if $a^3-3ab^2=39..(1)$ $b^3-3a^2b=26..(2)$ Consider $(1)^2+(2)^2=(a^2+b^2)^3=39^2+26^2=13^3$
then $a^2+b^2=13$

[LightLucifer]

#3
ถ้าส่งไปแบบนั้นจะยังไม่ได้คะแนนเต็มครับ

[BLACK-Dragon]

Let x,y,z be integers such that
$$x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+27$$
$$x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y=6xyz+108$$
$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz(x+y+z)+189$$

ให้ $x+y+z=a, xy+yz+zx=b ,xyz=c$ จัดรูปใหม่ได้

$a^2=3b+27$
$ab=9c+108$
$b^2=3ca+189$

จากสมการที่ได้มาใหม่เราจะได้ $b=\dfrac{a^2-27}{3} , c= \dfrac{a^3-27a-324}{27}$

เอาไปแทนในสมการ $b^2=3ca+189$ ก็จะได้ $a=6$

$x+y+z=6$

[จูกัดเหลียง]

#5 ผมก็ว่าอย่างนั้น 555+
#6 เหมือนกันเลยครับ เร็วจัง -*-

[จูกัดเหลียง]

Day 2: Problems 16 Let $n\le 2012$ if $n\in\mathbb{N}$ such that $11|n$ and the sum of the digits of $n$ can divisble by $11$ Determine numbers of $n$

ถ้า $n$ มี $2$ หลักจะไม่มีที่สอดคล้องกับโจทย์
กรณี ถ้า $n$ มี $3$ หลัก ให้ $n=100a+10b+c$ ดังนั้น $11|a+b+c \wedge 11|100a+10b+c\rightarrow 11|9b\therefore 11|b$
จึงได้ว่า $b=0$ จะได้ $a+c=11$ bound ค่าได้ว่า มี $(a,c)$ $8$ แบบ
กรณี ถ้า $n$ มี $4$ หลักจะได้ $n=1000a+100b+10+d$ ทำนองเดียวกันกับกรณีที่เเล้ว
จะได้ $11|b\rightarrow b=0$ เเละได้ $11|d\rightarrow d=0$ ซึ่งก็จะซ้ำได้ว่า $a+c=11$ เเต่ก็ไม่เกิดกรณีใดๆ เพราะ $a\le 2$ ถ้า $a=2$ จะได้ $n=2090$ ซึ่งเกิน $2012$
ดังนั้น จึงมีเพียง $8$ จำนวนที่สอดคล้อง

[Amankris]

#8
ยังไม่ใช่ครับ

[PP_nine]

ขอข้อ 18 ก่อนละกัน ดูง่ายสุด

ให้ $m,M$ แทนค่าต่ำสุด,สูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)=\sin^4 x - \sin x \cos x + \cos^4 x$ ตามลำดับ

ถ้าเขียน $m+M=\dfrac{p}{q}$ โดยที่ $p,q \in \mathbb{N}$ และ $(p,q)=1$ จงหาค่าของ $p+q$

solution

จัััดรูปเป็น $f(x)=\Big( \dfrac{1-\cos 2x}{2} \Big)^2 - \dfrac{1}{2} \sin 2x +\Big( \dfrac{1+\cos 2x}{2} \Big)^2$

$2f(x)=1+\cos ^2 2x - \sin 2x$

$2f(x)=2-\sin^2 2x - \sin 2x$

$f(x)=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{2} (\sin 2x - \dfrac{1}{2})^2$

พิจารณา $-\dfrac{3}{2} \le \sin 2x - \dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2}$

$0 \le \Big( \sin 2x - \dfrac{1}{2} \Big)^2 \le \dfrac{9}{4}$

ทำให้ $0 \le f(x) \le \dfrac{9}{8}$

ดังนั้น $m+M=\dfrac{9}{8}$ ได้ $p+q=17$ #

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Day I Problems2: $f:R\rightarrow R$ Find all function $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$$
take $x=0$ we get $$f(f(y))=f(0)^2+y$$ and we take $y=-f(0)^2,f(y)=k$
Then get $f(k)=0$ so we can take that $x=y=k$ therefore $f(0)=0$
if we take $y=0$ we get $$f(xf(x)+0)=f(x)^2+0\leftrightarrow f(xf(x))=f(x)^2...(i)$$
or we take $x=0$ get $$f(f(y))=y\rightarrow f(f(x))=x...(ii)$$
The equation $(i)$ we take $x=f(x)$ then the equation is the following $f(xf(x))=x^2$
so by $(ii)$ we conclude that $f(x)=x,-x$

รู้ได้ยังไงครับว่าเป็นฟังก์ชันทั่วถึง??

ว่าแต่รายการนี้ปีหน้ามีจัดอีกมั้ยอ่ะครับ น่าสนใจดี

[จูกัดเหลียง]

#11 ไม่เข้าใจอ่ะครับ 555+ โปรดขยายความ
ปล.ผมว่ามันเป็นปีเเรก ปีหน้าน่าจะยังมีอยู่(มั้ง)ครับ

[LightLucifer]

เห็นเค้าว่า 2 ปีครั้งนะครับ

[PP_nine]

#11 ฟังก์ชันทั่วถึงเช็คได้จากว่าทุก x ในโคโดเมนจะมีจำนวนจริง a ที่ทำให้ f(a)=x เสมอ

ซึ่งในกรณีนี้สำหรับจำนวนจริง y เราก็จะมีจำนวนจริง f(y) ที่ส่งไปหา y นั่นคือ f(f(y))=y

[LightLucifer]

อีกประเด็นคือ ตอน สรุปคำตอบ มัยังไม่สมบูรณ์ ครับ