|
|
#1
15 เมษายน 2009, 15:58
|
||||
|
||||
Plane Coloring
อันที่จริง โจทย์ข้อนี้ น่าจะเป็น Combinatorics มากกว่า แต่ผมเห็นว่ามันมีเรขาคณิตเกี่ยวข้อง เลยนำมาไว้ในนี้ครับ
จงแสดงว่า เราสามารถระบายสีระนาบด้วยสีแดง และสีเขียว ซึ่งทำให้ระนาบสอดคล้องเงื่อนไขสี่ข้อต่อไปนี้ (1) มีเส้นตรงเป็นอนันต์เส้นที่ไม่มีจุดสีแดงอยู่บนเส้นตรงเลย; (2) วงกลมใดใดในระนาบ จะมีจุดบนเส้นรอบวงมีสีแดงเป็นอนันต์จุด; (3) วงกลมใดใดในระนาบจะมีจุดสีแดงอยู่ภายในวงกลม และจุดสีเขียวภายในวงกลมเสมอ; (4) ทุก $n \geq 3$ จะมีรูป $n$ เหลี่ยมปกติที่มีจุดยอดทุกจุดเป็นสีแดงอย่างน้อยหนึ่งรูป และสีเขียวอย่างน้อยหนึ่งรูปเสมอ  (หมายเหตุ : (3) หมายความว่า จุดสีแดง และ จุดสีเขียว dense ในระนาบ)
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก  (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ 17 เมษายน 2009 20:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Spotanus เหตุผล: เพิ่มความกระจ่างชัด + แก้ไขโจทย์ 
|
|
#2
17 เมษายน 2009, 20:51
|
||||
|
||||
|
เข้าใจว่า โจทย์ก่อนที่จะแก้ไขครั้งที่สองนี้คงจะง่ายไปนะครับ
ผมขออนุญาต, ในขณะที่ยังไม่มีคนตอบกระทู้, แก้ไขเงื่อนไขข้อสามเล็กน้อยนะครับ หวังว่า โจทย์คงจะยากขึ้น ขอบคุณครับ, Spotanus
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$
|
|
#3
06 พฤษภาคม 2009, 11:20
|
|||
|
|||
|
ในตอนแรก ระบายจุด $(x,y)$ ด้วยสีเขียวเมื่อ $x$ เป็นจำนวนตรรกยะ และสีแดงเมื่อ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
จะเห็นว่าสอดคล้องเงื่อนไขข้อ 1,2,3 ต่อไปเราจะพยายามเปลี่ยนสีของจุดบางจุด เพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขข้อ 4 แบ่งระนาบออกเป็นช่วงๆ ตามพิกัด $x$ โดยแบ่งเป็นช่วง $[3,4), [4,5), [5,6), ...$ ในช่วง $[n,n+1)$ วาดรูป $n$ เหลี่ยมปกติรูปเล็กๆ ลงไปในช่วงนั้น 2 รูป (โดยให้รูปทั้งสองไม่ซ้อนทับกัน) และเปลี่ยนสีจุดมุมของรูปแรกให้เป็นสีแดง และของรูปที่สองให้เป็นสีเขียว จะเห็นว่าการระบายสีสอดคล้องกับเงื่อนไขข้อ 4 และยังคงสอดคล้องกับเงื่อนไข 3 ข้อแรกอยู่
|
  |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| plane geometry ค่าย 2 มีนา 2549 ขอคำชี้แนะครับ | goodnews | เรขาคณิต | 6 | 09 ธันวาคม 2007 22:31 |
| สอวน. วิชา plane geometry ช่วยกันคิดนะครับ | goodnews | เรขาคณิต | 1 | 29 ตุลาคม 2007 20:00 |
| tangent plane | suan123 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 03 ตุลาคม 2007 11:24 |
|
|
