ช่วยอินทิเกรตหน่อยครับ อาจารย์ถามมาหลายปีแล้ว รุ่นพี่ผมยังไม่มีใครตอบได้เลยซักคน

[Pocket]

ผมเอาเข้าโปรแกรมเมเปิ้ลแล้ว

แต่ก็ไม่ออกเหมือนกันอ่ะครับ

อาจารย์เขาบอกว่าไม่ต้องรีบก็ได้

เดี๋ยวปี 53 แล้วเขาจะเฉลย เขาให้เวลาคิด 1 ปีแน่ะ

ใครว่างๆก็ช่วยกันคิดนิดนึงนะครับ ขอบคุณมาก

[kanakon]

สำหรับข้อที่สองนะครับ ส่วนข้อแรกนั้น

$$\int\sqrt{1+tan^2x} dx = \int\ secx dx=ln|secx+tanx| + C$$

[t.B.]

ข้อแรก ผมใช้วิธีเปลี่ยน tan เป็น sin/cos

My sol (1.)

$=\int_{}^{}\frac{1}{1+\frac{sin^{4}x}{cos^{4}x} } \,dx $

$=\int_{}^{}\frac{cos^4x}{cos^{4}x+sin^{4}x} \,dx $

$=\int_{}^{}\frac{cos^4x}{(cos^{2}x+sin^{2}x)^2-2sin^2xcos^2x} \,dx $

$=\int_{}^{}\frac{2cos^4x}{2-sin^22x} \,dx $

$=\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{(1+cos2x)^2}{2-sin^22x} \,dx $

$=\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{cos^22x+2cos2x+1}{2-sin^22x} \,dx $

$=\frac{1}{2} [\int_{}^{}\frac{cos^22x}{2-sin^22x} \,dx +2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$

$=\frac{1}{2} [\int_{}^{}\frac{1-sin^22x}{2-sin^22x} \,dx +2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$

$=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}(1-\frac{1}{2-sin^22x} )\,dx +}+2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$

$=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx ]$

$=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dsin2x ] ---(*)$

ให้ $u=sin2x ,$ และ $u=\sqrt{2} sin\theta $ ; $\frac{-\pi }{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2} $
$\therefore du=\sqrt{2} cos\theta d\theta $

$=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{\sqrt{2} cos\theta }{2-2sin^22x} \,d\theta ]$

$=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{\sqrt{2} cos\theta }{2cos^2\theta } \,d\theta ]$

$=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\frac{\sqrt{2} }{2} \int_{}^{} sec\theta \,d\theta ]$

$=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|sec\theta +tan\theta |}{4} +C $

เพราะว่า $sec\theta =\frac{2}{\sqrt{2-u^2} } , tan\theta =\frac{u}{\sqrt{2-u^2} } $

$=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2-u}{\sqrt{2-u^2 }} |}{4} +C $

$=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2+u}{2-u} |}{8} +C $

$=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2+sin2x}{2-sin2x} |}{8} +C $ ##

หมายเหตุ: จากบรรทัด (*) สามารถใช้สูตร $\int_{}^{}\frac{1}{a^2-u^2} \,du = \frac{log|\frac{a+x}{a-x} |}{2a} $ ได้เลยได้คำตอบเท่ากัน

มีอะไรผิดพลาดแย้งได้เลยนะครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ข้อแรก ผมใช้วิธีเปลี่ยน tan เป็น sin/cos

คุณ t.ฺB. สุดยอดไปเลยครับ

[Pocket]

เครื่องหมาย ++ หมายความว่าไงเหรอครับ คุณ t.B.

อ้อ ส่วนข้อสอง ผมเขียนโจทย์ผิดครับ

พอดีจำมาผิด

ไปถามอาจารย์อีกที เขาบอกว่าไม่มีกำลังสอง แต่เป็น tan x เฉยๆ

ขอบคุณทั้งสองท่านมากครับ

[ไอ้ลูกระเบิด]

ถ้าหา อินทิเกตของ (1+X^2)/(1+X^4) ได้ผมก็ตอบได้สำหรับข้อที่ 1

[kongp]

Maple ไม่ออกเพราะอะไรครับ เค้าแจ้งว่าไง ส่วนมากหากผลผิดพลาด แล้วสนใจจะทำให้ไ้ด้ ก็เขียน Script โปรแกรมสั้นๆ เพื่อเพิ่มเงื่อนไขอะไรบางอย่าง
ลองค้นดูตัวอย่างจากเวปเค้าดูสิครับ หรืออาจโมดิไฟร์ f(x) ก่อนอย่างที่คุณ ไอ้ลูกระเบิด ตอบมา

ติดรูท แทนสูตรถูก คำตอบก็ออก

[ไอ้ลูกระเบิด]

ข้อ2ลองใช้ Tan 2 เท่าดูนะได้100%