การนับครับ (สมาคมคณิต ' 50)

[PhyMath]

มีจำนวนเต็ม 7 หลัก ที่เลขโดเเต่ละหลักเป็น 0 หรือ 1 หรือ 2 เเละ 11 หารลงตัวกี่จำนวน ข้อนี้ในหนังสือเขาเฉลยเเบบเเจงกรณีเยอะมากเลยครับ ผมเลยอยากได้เเนวคิดใหม่ๆ

[กิตติ]

ลองพิจารณาเลขเจ็ดหลักก่อน $\overline{ABCDEFG} $ ใช้วิธีแบบเด็กประถมที่ใช้ทำข้อสอบพวกระดับประเทศ
$\overline{ABCDEFG}=1000000A+100000B+10000C+1000D+100E+10F+G$
$=(999999+1)A+(100001-1)B+(9999+1)C+(10001-1)D+(99+1)E+(11-1)F+G$
เศษจากการหารด้วย11 คือ $A-B+C-D+E-F+G$ ก็คือ $(A+C+E+G)-(B+D+F)$
เมื่อ $A,B,C,D,E,G \in \left\{\,0,1,2\right\} $
ทีนี้เราจะได้ว่า ก็แค่เลือก ค่าที่ทำให้ผลรวมเป็น 0
พิจารณา $B+D+F$ เกิดผลบวกได้คือ $0,1,2,3,4,5,6$
$0=0+0+0$....เกิดได้ 1 วิธี
$1=0+1+0$....เกิดได้ 3 วิธี
$2=0+2+0,0+1+1$....เกิดได้ 3+3=6 วิธี
$3=0+1+2,1+1+1$....เกิดได้ 7 วิธี
$4=0+2+2,1+1+2$....เกิดได้ 6 วิธี
$5=1+2+2$....เกิดได้ 3 วิธี
$6=2+2+2$....เกิดได้ 1 วิธี
พิจารณา $(A+C+E+G)-(B+D+F)$ เกิดผลบวกได้คือ $0,1,2,3,4,5,6$ ตาม $B+D+F$
$0=0+0+0+0$....เกิดได้ 1 วิธี
$1=1+0+0+0$....เกิดได้ 1 วิธี เพราะ $A$ ไม่เป็นศูนย์
$2=2+0+0+0,1+1+0+0$....เกิดได้ 1+3=4 วิธี
$3=1+2+0+0,1+1+1+0$....เกิดได้ 3+3+3=9 วิธี
$4=2+2+0+0,1+1+1+1,2+1+1+0$....เกิดได้ 1+3+6+3=13 วิธี
$5=1+2+2+0,1+1+1+2$....เกิดได้ 3+6+3+1=13 วิธี
$6=2+2+2+0,2+2+1+1$....เกิดได้ 3+3+3=9 วิธี

ตัดกรณีที่เป็นศูนย์ทั้งหมดออก
จะได้ว่าจำนวนวิธีทั้งหมดคือ $3+24+63+78+39+9=216$ จำนวน
ไม่รู้ว่าจะได้เท่ากับที่เฉลยไหม เผลอๆเฉลยน่าจะใช้วิธีแบบนี้ครับ
ผมลืมว่าเป็นการเรียงของที่ซ้ำกัน คำตอบที่ได้ตอนแรกเลยเกินคำตอบที่เฉลยครับ

[PhyMath]

คือ เฉลยของผมมันตอบ 216 น่ะครับ

[Amankris]

ตอบ 216 ถูกแล้วครับ
#2 นับผิดหลายจุดเลยครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณamankris ผมลืมไปว่ามันเรียงของซ้ำกัน เดี๋ยวแก้ตัวเลขอีกทีครับ