หา k ที่มากที่สุด

[beginner01]

จงหา $k\in\mathbb{R}$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องอสมการ
$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$สำหรับทุก $a,b,c\geq0$

[warutT]

จริงๆผมคิดว่าให้ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 อีกสองตัวเป็น 1 ก็น่าจะจริงทุก k>0 นะครับ

ผมลองเขียนวิธีมา ไม่แน่ใจนะครับ ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่าตรงไหนผิดช่วยแก้ให้ด้วยนะครับ

$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$

เป็น Homogenous function

เลือก $t=\dfrac{1}{a+b+c}$

ให้ $x= \dfrac{a}{a+b+c}$

$y= \dfrac{b}{a+b+c}$

$z= \dfrac{c}{a+b+c}$

จะพิจารณาอสมการ $$\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y+z}\right)^k\geq2,x+y+z=1$$

AM-GM Inequality, $$\sum_{cyc}\left(\dfrac{x+(y+z)}{2}\right) \geq \sum_{cyc}(\sqrt{x(y+z)})$$

$$\sum_{cyc}\left(\dfrac{1}{2x}\right)\geq \sum_{cyc}\left(\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}\right)$$

$$\sum_{cyc}\left(\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}\right) \geq \sum_{cyc}(2x)$$

$$\sum_{cyc}\left({\dfrac{x}{y+z}}\right)^k \geq \sum_{cyc}(2^kx^k)$$

สมมติว่ามี k>1 ที่สอดคล้องอสมการ

Powermean Inequality, $x^k+y^k+z^k \geq 3(\dfrac{x+y+z}{3})^k=\dfrac{1}{3^{k-1}}$

$\sum_{cyc}\left({\dfrac{x}{y+z}}\right)^k \geq 2^k\sum_{cyc}(x^k) \geq 3^{k-1}2^k \geq 2$

$\therefore 3^{k-1}2^{k-1} \geq 1$


หาค่า max{k} ไม่ได้

[WLOG]

เขาให้หา $\max(k) \in \mathbb{R}$ นะค่ะ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ WLOG

เขาให้หา $\max(k) \in \mathbb{R}$ นะค่ะ

ขอโทษครับ ผมเข้าใจว่าเป็นจำนวนนับ จะลองคิดดุใหม่ครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

จงหา $k\in\mathbb{R}$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องอสมการ
$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$สำหรับทุก $a,b,c\geq0$

สำหรับคำตอบผมเองก็ไม่ทราบเหมือนกันครับ เลยมาถาม

เท่าที่รู้ก็คือมันเห็นได้ชัดว่าถ้ามีตัวนึงเป็น $0$ จะได้ว่า $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$ ทันที

คราวนี้ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเมื่อ $a,b,c>0$
แทนค่า $a=b=c$ ได้ว่า LHS$=3\left(\frac{1}{2}\right)^k$
เพื่อที่ว่า $LHS\geq 2$ ดังนั้น $3\left(\frac{1}{2}\right)^k\geq 2$
$\Leftrightarrow k\leq\log_{2}{3}-1$

มีคำถามเพื่ม ไม่รู้ว่าอาจจะเป็น hint สำหรับใครหรือเปล่า เลยซ่อนไว้ก่อนครับ

Hint?

เป็นไปได้หรือไม่ว่า เราจะแสดงว่า $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq3\left(\frac{1}{2}\right)^k$$สำหรับทุก $a,b,c>0$;$k>0$

[Anonymous314]

ผมได้ว่า
$$\max(k)=\log_23-1$$
Hint:
\[{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^k} + {\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^k} + {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^k} \ge \min \left( {2,\frac{3}{{{2^k}}}} \right)\]
for $k \in (0,1)$