ช่วยแนะสมการเชิงฟังก์ชั่นให้หน่อยครับ

[หยินหยาง]

พอดีช่วงนี้อยากลองทำโจทย์ FE ดู มีปัญหาอยากถามว่าโจทย์ 2 ข้อนี้ มีแนวคิดอย่างไรหรือวิธีการแก้อย่างไรครับ
1. Find all functions $f:R\rightarrow R $ that satisfy
$~~f(f(x-y)) = f(x)f(y)-f(x)+f(y)-xy$

2. Find all continuous functions $f:R\rightarrow R $ that satisfy
$~~f(f(x)) = f(x)+2x$

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[Little Penguin]

1.

Sol

ก่อนอื่น สังเกตว่า ฟังก์ชันค่าคงที่ ไม่เป็นคำตอบของโจทย์
แทน $x$ ด้วย $x-y$ ,$y$ ด้วย $0$ จะได้ $f(f(x-y))=f(x-y)f(0)-f(x-y)+f(0)$
ดังนั้น $f(x)f(y)-f(x)+f(y)-xy=f(x-y)f(0)-f(x-y)+f(0)-------------------------(1)$
สลับตัวแปร $x,y$ ได้ $f(x)f(y)-f(y)+f(x)-xy=f(y-x)f(0)-f(y-x)+f(0)$
ลบสองสมการนี้ ได้ $2f(x)-2f(y)=(f(y-x)-f(x-y))(f(0)-1)$
แทน $y=0$ จัดรูปโดยให้ $f(0)=a$ ได้ $f(x)(a+1)=f(-x)(a-1)+2a---------------------------(2)$
ดังนั้น $f(x)(a+1)^2=f(-x)(a+1)(a-1)+2a(a+1)=f(x)(a-1)^2+4a^2$
นั่นคือ $4a(f(x)-a)=0$
แต่จากที่เรารู้ว่า $f$ ไม่เป็นฟังก์ชันค่าคงตัว ดังนั้น $a=0$

นำกลับไปแทนสมการ $(2)$ ได้ $f(x)=-f(-x)$ และนำ $a=0$ ไปแทนใน $(1)$ ได้
$f(x)f(y)-f(x)+f(y)-xy=-f(x-y)$
แทน $y$ ด้วย $-y$ และจัดรูป ได้ $f(x+y)+xy=f(x)f(y)+f(x)+f(y)$
แทน $x,y$ ด้วย $-x,-y$ ได้ $-f(x+y)+xy=f(x)f(y)-f(x)-f(y)$
บวกสองสมการด้วยกัน ได้ $f(x)f(y)=xy$
เนื่องจาก $f$ ไม่ใช่ฟังก์ชันคงตัีว ดังนั้น ต้องมี $k$ ซึ่ง $f(k)\not =0$
แทน $y$ ด้วย $k$ ได้ว่า $f(x)=\dfrac{k}{f(k)}x=ax$

นำผลที่ได้ไปแทนในโจทย์ จะได้ว่า $f(x)=-x$ เท่านั้น

2.http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1328709#1328709 <<< แต่อันนี้เป็นคนละโจทย์ แต่ทำในทำนองเดียวกันได้

[Jew]

ฟังก์ชั่นค่าคงตัวคืออะไรครับ
อยากทราบว่ามีประโยชน์ในการแก้ FE อย่างไรครับ

[หยินหยาง]

ขอบคุณ คุณ Little Penguin มากครับ ว่าแต่ว่าข้อ 2 มีวิธีที่ง่ายกว่านี้มั้ยครับ รบกวนอีก สักข้อครับ ใครก็ได้ครับ

3. Find all continuous functions $f:R\rightarrow R $ that satisfy the equality
$~~~f(x+y)+f(xy) = f(x)+f(y)+f(xy+1)$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ขอบคุณ คุณ Little Penguin มากครับ ว่าแต่ว่าข้อ 2 มีวิธีที่ง่ายกว่านี้มั้ยครับ รบกวนอีก สักข้อครับ ใครก็ได้ครับ

3. Find all continuous functions $f:R\rightarrow R $ that satisfy the equality
$~~~f(x+y)+f(xy) = f(x)+f(y)+f(xy+1)$

ผมไม่ชัวนะครับรอท่านหยินหยางมาช่วยเช็คด้วยนะครับ

$f(x+y)+f(xy) = f(x)+f(y)+f(xy+1)$
$(f(x+y)+1)+(f(xy)+1)+1=(f(x)+1)+(f(y)+1)+(f(xy+1)+1)$
แทน $x=y=0$ จะได้ว่า $f(1)=0$
ให้ $g(x)=f(x)+1$ <จะได้ g(1)=1 ด้วย> จะได้ว่า
$g(x+y)+g(xy)+1=g(x)+g(y)+g(xy+1)$......................(1)
แทน $x=-x , y=-y$ ใน (1) จะได้ว่า
$g(-x-y)+g(xy)+1=g(-x)+g(-y)+g(xy+1)$...................(2)
นำ (1)-(2) จะได้ว่า
$g(x+y)+g(-x-y)=g(x)+g(-x)+g(y)+g(-y)$...................(3)
แทน $x=y=0$ ใน (3) จะได้ว่า
$g(0)=0$
แทน $x=-y$ จะได้ว่า
$g(x)=-g(-x)$
แทน $y=-1$ ใน (1) จะได้ว่า
$g(x-1)+g(-x)+1=g(x)+g(-1)+g(1-x)$
$g(x-1)-g(x)+1=0$
$g(x)=g(x-1)+1$ หรือ $g(x+1)=g(x)+1$
พิจรณา $(1)$ จะได้ว่า
$g(x+y)+g(xy)+1=g(x)+g(y)+g(xy+1)$......................(1)
$g(x+y)=g(x)+g(y)$
นั่นคือ $g$ สอดคล้องกับสมการโคชี และเนื่อวจาก $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจะได้ $g$ ต่อเนื่องเช่นกัน
สมารถสรุปได้ว่า $g(x)=cx$ เมื่อ $c$ เป็นค่่าคงที่ เมื่อแทนค่ากลับไปจะได้ว่า $c=1$

$\therefore f(x)=g(x)-1=x-1 $

Ps. ฟังก์ชันคงที่คือฟังก์ชันที่มี $f(x)=c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ครับ

[หยินหยาง]

คุณ LightLucifer นี่เก่งเลยนะครับ(ชมจริงๆ) แต่สมการ 3 ยังไม่ถูกครับ ส่วน 2 บรรทัดล่าง จะต้องการสื่ออะไรครับ

[LightLucifer]

เก่งตรงไหนกันครับเนี่ย (3) ผิดอ่ะแล้วก็คิดไม่ออกแล้วหง่ะ แป่วววว

ดูเหมือนเซียนหยินหยางจะคิดได้แล้ว รบกวนช่วยแสดงหน่อยครับ

ปล สองบรรทัดล่างพิมพ์เกินมาครับ

[หยินหยาง]

เวลาผมจะบอกว่าใครเก่งหรือไม่ ผมไม่ไดู้ดูคำตอบอย่างเดียวครับ คนที่เก่งส่วนใหญ่ก็ผิดพลาดมาก่อน เพียงแต่ขอให้รู้ว่าผิดตรงไหนและแก้ไขอย่างไร ดั่งคำโบราณที่ว่า ผิดเป็นครูููููููููููผมเองก็ทำผิดมาเยอะ กลับกันถ้าช่วงไหนผมไม่ได้ทำผิดเลย ผมอาจจะต้องมาทบทวนว่าผมกำลังไม่พัฒนาหรือเปล่า เพราะผมไม่สามารถหาโจทย์มาสอนวิธีใหม่ๆหรือความรู้ใหม่ได้ ผมมักจะเรียนรู้กับสิ่งผิดเพื่อมาปรับปรุงและพัฒนาต่อไป (ความหมายผมไม่ได้หมายความว่าต้องทำผิดแล้วถึงเก่งนะครับ) กรณีของคุณ LightLucifer ผมก็ดูจากกระบวนการคิดและหลักคิดที่แสดงไว้โดยอิงจากที่คุณ LightLucifer พึ่งฝึกฝนทำโจทย์ลักษณะนี้
สำหรับโจทย์ข้อนี้ ผมยังคิดไม่ออกและยังต้องทำภาระกิจอย่างอื่นอยู่ แต่ก็อยากรู้คำตอบ เพราะการรู้คำตอบสำหรับผมไม่ได้ทำให้ผมเสียนิสัยครับ