โจทย์พีชคณิต ช่วยคิดด่วนครับ

[Alberta]

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงซึ่ง น 0 ถ้า a+b+c = 0 และ
\(a^5\)+\(b^5\)+\(c^5\) =\(a^3\)+\(b^3\)+\(c^3\)
จงหาค่าของ\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงซึ่ง น 0 ถ้า a+b+c = 0 และ
\(a^5\)+\(b^5\)+\(c^5\) =\(a^3\)+\(b^3\)+\(c^3\)
จงหาค่าของ\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)

ลองพิสูจน์ดูครับ

ถ้า a + b + c = 0 แล้ว
\[ \Large{\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=(\frac{a^3+b^3+c^3}{3})(\frac{a^2+b^2+c^2}{2})} \]

[Alberta]

พี่ครับ
แล้วไอ้เอกลักษณ์ข้างบนเนี่ย พี่รู้อยู่แล้วหรือว่าหาเองครับ
(ถ้าหาเอง โหสุดยอด ผมไม่รู้จะทำไงเลย)

[M@gpie]

เหอๆๆ ซู๊ดดดดด ยอด คับพี่ noonuii คิดได้ยังไงเนี่ย ในที่สุดผมก็หาวิธีพิสูจน์แบบยืดยาวได้ ดังนี้ (ถ้าพี่มีวิธีที่สั้นกว่า ช่วยแนะนำด้วยนะคร้าบ)
พิจารณา \( a+b+c=0 \)
ผลัดกันย้าย a , b, c ไปทางขวาแล้วยกกำลัง 5 จะได้ว่า
\( a^5+b^5+c^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4 = 0 \) หรือ
\( a^5+b^5+c^5+5a^4c+10a^3c^2+10a^2c^3+5ac^4 = 0 \) หรือ
\( a^5+b^5+c^5+5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5bc^4 = 0 \)
นำสามสมการมาบวกกัน แล้วจับคู่นิดๆหน่อยๆ จะได้ว่า
\( 3(a^5+b^5+c^5) +5ab(a^3+b^3) +5ac(a^3+c^3) +5bc(b^3+c^3)+10a^2b^2(a+b)+10a^2c^2(a+c)+10b^2c^2(b+c) = 0 \)
เปลี่ยนรูปในวงเล็บจากความสัมพันธ์ ถ้า\( a+b+c = 0 \) แล้ว\( a^3+b^3+c^3 = 3abc \) จะได้ว่า
\( 3(a^5+b^5+c^3) +5abc(3ab-c^2) +5abc(3ac-b^2)+5abc(3bc-a^2) -10a^2b^2c -10a^2c^2b-10b^2c^2a = 0 \)
ดึง \( 5abc \) ออกมาจะได้
\( 3(a^5+b^5+c^3) +5abc(-(a^2+b^2+c^2)+(ab+ac+bc)) = 0 \)
และเนื่องจาก \( a+b+c=0 \rightarrow a^2+b^2+c^2 = -2(ab+ac+bc) \)
จะได้สมการเป็น \( 3(a^5+b^5+c^3) +5abc(-\frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)) = 0 \)
ย้ายข้างแล้วเอา 3 หารตลอด และแทนค่า \( abc= \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \) จะได้เอกลักษณ์แบบพี่ noonuii ตามต้องการ
\[ \frac{a^5+b^5+c^5}{5} = ( \frac{a^3+b^3+c^3}{3}) ( \frac{a^2+b^2+c^2}{2} ) \]
เป็นเอกลักษณ์ที่น่าจดจำอีกอันหนึ่งนะครับ
สรุปว่า \[ a^2+b^2+c^2 = \frac{6}{5} \]

[gon]

เพิ่งกลับจากงานคืนสู่เหย้าชาวซีมะโด่งมา เหอ ๆ อยู่นานไม่ได้

ลองดู My Maths เล่มล่าสุดที่วางแผงอยู่ก็ได้ครับหน้าปกเป็นรูป Ramanujan พี่ใส่เอกลักษณ์แบบนี้ไว้เต็มถึงกำลัง 10 รอให้คนอื่นเอาไปคิดถึงกำลังสัก 20

[TOP]

จาก Newton's Relation ที่ว่า
\[P_m = \begin{cases}
\left(S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{(m-1)+1}S_{m-1}P_{1}\right) + (-1)^{m+1} m S_{m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\
S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n} & \textrm{ เมื่อ }m > n
\end{cases}\]
ในกรณีนี้ \(n = 3\) และเนื่องจาก \( a + b + c = 0 \) หรือ \( P_1 = S_1 = 0\) จะได้
\[\begin{array}{rcl}
P_1 & = & S_1 = 0 \\
P_2 & = & S_1P_1 - 2S_2 = -2S_2 \text{หรือ} S_2 = -\frac{1}{2}P_2 \\
P_3 & = & S_1P_2 - S_2P_1 + 3S_3 = 3S_3 \text{หรือ} S_3 = \frac{1}{3}P_3 \\
P_4 & = & S_1P_3 - S_2P_2 + S_3P_1 = \frac{1}{2}P_2^2 \\
P_5 & = & S_1P_4 - S_2P_3 + S_3P_2 = \frac{1}{2}P_2P_3 + \frac{1}{3}P_2P_3 = \frac{5}{6}P_2P_3 \\
\text{หรือ}\ a^5 + b^5 + c^5 & = & \frac{5}{6} \left(a^2 + b^2 + c^2\right) \left(a^3 + b^3 + c^3\right)\ \text{ตามต้องการ}
\end{array}\]
ใครพอใจอยากหา \(P_m\) ถึงขั้นไหนก็เชิญหากันตามสะดวก

[Char Aznable]

ขอแจมด้วยคนครับ โจทย์พีชคณิตข้อสอบค่ายโอลิมปิก
1.จงพิสูจน์ว่า xⁿ+5x^n-1+3 ไม่สามารถแยกเป็นผลคูณของพหุนามสองพหุนามที่มีดีรีมากกว่า 1 และมีสปส.เป็นจำนวนเต็มได้
2.จงหา m,n ณ 3 ทั้งหมดซึ่ง มีจำนวนเต็ม a ไม่จำกัดจำนวนซึ่ง a^m+a-1 หารด้วย aⁿ+a²-1 ลงตัว

[nooonuii]

ผมเคยทำโจทย์ข้อนี้มาก่อนครับ ไม่แน่ใจว่าโจทย์ดั้งเดิมมาจากไหนแต่เห็นอยู่บ่อยๆในหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์โอลิมปิก

โจทย์ข้อนี้เป็นหนึ่งในโจทย์จากบทความเรียนพีชคณิตจากโจทย์ชุดที่ 6 ซึ่งผมจะเขียนเกี่ยวกับรากของพหุนามและความสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์ครับ

ให้ $p = ab+bc+ca , q = abc$ จะได้

$a^2 + b^2 + c^2= - 2p, a^3+b^3+c^3 = 3q$

เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $t^3 + pt - q$

เราจึงได้ $a^5 = qa^2-pa^3,b^5=qb^2-pb^3,c^5=qc^2-pc^3$

ดังนั้น

$a^5+b^5+c^5 = q(a^2+b^2+c^2) - p(a^3+b^3+c^3)$
$~~~~~~~~~~~~~~~= -2pq-3pq$
$~~~~~~~~~~~~~~~= -5pq$
$~~~~~~~~~~~~~~~=5\left(\dfrac{-2p}{2}\right)\left(\dfrac{3q}{3}\right)$
$~~~~~~~~~~~~~~~=5\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\right)\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)$