Inspired from A5, Shortlist 1996

[Spotanus]

ให้ $P\left(x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ เป็นพหุนามบนจำนวนจริงไปจำนวนจริง ที่$a\not= 0$
โดยที่ $a=\sum_{i = 1}^{n} \omega _{i}\cdot P\left(k_{i}\right)$
บาง $\omega _{i},k_{i} \in \mathbb{R}$
แล้วจงหาค่าต่ำสุดของ $\sum_{i = 1}^{n} \left|\omega_{i}\right| $

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

ให้ $P\left(x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ เป็นพหุนามบนจำนวนจริงไปจำนวนจริง ที่$a\not= 0$
โดยที่ $a=\sum_{i = 1}^{n} \omega _{i}\cdot P\left(k_{i}\right)$
บาง $\omega _{i},k_{i} \in \mathbb{R}$
แล้วจงหาค่าต่ำสุดของ $\sum_{i = 1}^{n} \left|\omega_{i}\right| $

มั่นใจแค่ไหนคัรบว่าโจทยืไม่ผิด ผมจะได้ไม่เสียเวลาทำ

[Spotanus]

ขอขุดขึ้นมาหน่อยละกันครับ ปล่อยไว้นานไม่อยากทิ้งให้มันเป็น unsolved แบบนี้
ตอบ ไม่มีค่าต่ำสุด แต่มี best lower bound เป็น $0$
ก่อนอื่นจะแสดงว่า $0$ ใช้ไม่ได้
สมมติว่า $\sum_{i = 1}^{n} \left|\omega_{i}\right|=0 $
จะได้ว่า $\omega_{i}=0$ ทุก $i$ ทำให้ $a=0$ ขัดแย้ง
ดังนั้น $0$ ใช้ไม่ได้
ทีนี้พิจารณาว่า จากการที่
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{P(x)} =0$$
นิยามลำดับ $\{\epsilon_{n}\}=\frac{a}{P(n)}$
และให้ $\alpha$ เป็นรากที่มากที่สุดของ $x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$
และให้ $k$ เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\alpha$
จะได้ว่า $\forall i \geq k, \frac{a}{P(i)} >0$
ซึ่งจากการที่ $\forall i \geq k, a = \epsilon_{i}\cdot P(i)$
ดังนั้น
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \epsilon_{n} =0$$
ทำให้ $\mid \epsilon_{n} \mid$ น้อยเท่าที่ต้องการแต่ไม่ถึง $0$ เมื่อ $n$ มากพอ
จึงไม่มีค่าต่ำสุด ตามต้องการ