ขอ NT ง่ายๆหน่อยครับ

[littledragon]

ขอ NT ง่ายๆหน่อยครับ

[Spotanus]

Find all triples of primes $\left(p,q,r\right)$ satisfying
$$2008 \leq pqr \leq 2552$$
(ง่ายพอมั๊ยครับ )

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

Find all triples of primes $\left(p,q,r\right)$ satisfying
$$2008 \leq pqr \leq 2552$$
(ง่ายพอมั๊ยครับ )

$$(2^3)(251) \leq pqr \leq (2^3)(319)$$
ได้ p=2,q=$a^3$,r=$b^3$ :a,b=primes
q=2,p=$c^3$,r=$d^3$ :c,d=primes
r=2, p=$e^3$,q=$f^3$ :e,f=primes
จะได้ว่า $$qr=251 \leq (ab)^3 \leq 319$$
$$pr=251 \leq (cd)^3 \leq 319$$
$$pq=251 \leq (ef)^3 \leq 319$$
พบว่าไม่มี a,b,c,d,e,f ที่ใช้ได้ ครับบบ...
พบว่าไม่มี p,q,r ที่ใช้ได้เช่นกัน(ไม่รู้ว่าถูกหรือป่าวคือผมไม่ค่อยเก่ง NT ครับ)

[Spotanus]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ littledragon

$$(2^3)(251) \leq pqr \leq (2^3)(319)$$
ได้ p=2,q=$a^3$,r=$b^3$ :a,b=primes
q=2,p=$c^3$,r=$d^3$ :c,d=primes
r=2, p=$e^3$,q=$f^3$ :e,f=primes
จะได้ว่า $$qr=251 \leq (ab)^3 \leq 319$$
$$pr=251 \leq (cd)^3 \leq 319$$
$$pq=251 \leq (ef)^3 \leq 319$$
พบว่าไม่มี a,b,c,d,e,f ที่ใช้ได้ ครับบบ...
พบว่าไม่มี p,q,r ที่ใช้ได้เช่นกัน(ไม่รู้ว่าถูกหรือป่าวคือผมไม่ค่อยเก่ง NT ครับ)

ผมไม่สนใจกระดาษทดของคุณเท่าไรนะครับ
แต่ $\left(p,q,r\right)=\left(13,13,13\right)$ ทำให้
$$pqr=2197$$
ที่เหลือคุณลองไปพิจารณาเอาเอง

[littledragon]

อ่าวผมนึกว่าคำว่า (triples of primes = กำลังสามของจำนวนเฉนาะ)แต่ดูเหมือนว่าจะไม่ใช่ ขอโทษด้วยครับ

[Juniors]

จงหา $(p,x,q,y)$ ทั้งหมด สำหรับ $p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะบวก และ $x,y>1$ เป็นจำนวนเต็มบวก ที่ทำให้ $$p^x-q^y=1$$
(กรณีย่อยของ Mihailescu Theorem หรือ Catalan Conjecture)
ปล. ขอโทษทีครับ ต้องขอบคุณท่าน owlpenguin
(อย่าอ้างนะ Mihailescu มันยาก)

[littledragon]

จากMihailescu Theorem
$x^a− y^b = 1 $
สำหรับ$x, a, y, b > 1$คือ $x = 3, a = 2, y = 2, b = 3$
ดังนั้น $(p,x,q,y)=(3,1,2,1),(3,2,2,3),(2,2,3,1)$ ไม่รู้ว่ามีอีกหรือป่าวช่วยตรวจให้หน่อยนะครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ littledragon

จากMihailescu Theorem
$x^a− y^b = 1 $
สำหรับ$x, a, y, b > 1$คือ $x = 3, a = 2, y = 2, b = 3$
ดังนั้น $(p,x,q,y)=(3,1,2,1),(3,2,2,3),(2,2,3,1)$ ไม่รู้ว่ามีอีกหรือป่าวช่วยตรวจให้หน่อยนะครับ

ลองทำโดยไม่ต้องอ้างท.บ.นั้นสิครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Juniors

จงหา $(p,x,q,y)$ ทั้งหมด สำหรับ $p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะบวก และ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ที่ทำให้ $$p^x-q^y=1$$
(กรณีย่อยของ Mihailescu Theorem หรือ Catalan Conjecture)

ถ้าโจทย์ไม่ผิด ก็งานเข้าสิครับ แทน $p=2,y=1$ ได้ว่า $q=2^x-1$ แต่ ณ ปัจจุบันเรายังไม่ทราบกันเลยว่าจำนวนเฉพาะในรูปนี้มีอนันต์ตัวหรือไม่ด้วยซ้ำครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ลองทำโดยไม่ต้องอ้างท.บ.นั้นสิครับ

ถ้าโจทย์ไม่ผิด ก็งานเข้าสิครับ แทน $p=2,y=1$ ได้ว่า $q=2^x-1$ แต่ ณ ปัจจุบันเรายังไม่ทราบกันเลยว่าจำนวนเฉพาะในรูปนี้มีอนันต์ตัวหรือไม่ด้วยซ้ำครับ

ผมก็กำลังงงอยู่เหมือนกันครับ

[Juniors]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ littledragon

จากMihailescu Theorem
$x^a− y^b = 1 $
สำหรับ$x, a, y, b > 1$คือ $x = 3, a = 2, y = 2, b = 3$
ดังนั้น $(p,x,q,y)=(3,1,2,1),(3,2,2,3),(2,2,3,1)$ ไม่รู้ว่ามีอีกหรือป่าวช่วยตรวจให้หน่อยนะครับ

ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทนี้ห้ามอ้างครับ ตอนแข่งขัน เพราะบทพิสูจน์มันไม่ธรรมดา
ปล. แก้โจทย์ให้แล้วครับ ขอบคุณครับ
ปล2. แหม ผมอุตส่าห์บอกว่าเป็นกรณีย่อย กลับเอามาใช้เอง

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Juniors

ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทนี้ห้ามอ้างครับ ตอนแข่งขัน เพราะบทพิสูจน์มันไม่ธรรมดา

ขอโทษครับลืมนึกถึงบทพิสูจน์อันแสนยากอะครับ
ขอถามนะครับถ้าเจอข้อแบบนี้แล้วเป็นข้อแสดงวิธีทำควรเขียนแสดงวิธีทำยังไงดีครับหรือว่าต้องเขียนพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ครั บ

[Juniors]

ทำตามที่โจทย์ต้องการก็พอครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ littledragon

จากMihailescu Theorem
$x^a− y^b = 1 $
สำหรับ$x, a, y, b > 1$คือ $x = 3, a = 2, y = 2, b = 3$
ดังนั้น $(p,x,q,y)=(3,1,2,1),(3,2,2,3),(2,2,3,1)$ ไม่รู้ว่ามีอีกหรือป่าวช่วยตรวจให้หน่อยนะครับ

ผมเพิ่งรู้นะครับเนี่ยว่าไอ้ Mihailescu Theorem ที่ว่านิ มันเป็นที่รู้จักกันดีขนาดมีคนรู้จักกันหลายคนแบบนี้ อึ้งจริงๆครับ ตัวผมเองก็เพิ่งรู้เพราะไปค้นมาไม่นานมานี้นิเองรู้สึกว่าจะเป็นทฤษฎีที่ไม่โด่งดังอะไรอีกด้วย (มั้ง) ขอคารวะคุณ littledragon เลยครับ

[owlpenguin]

เอาล่ะ มาทำกันต่อ ไม่ได้เขียนละเีอียดนะครับ แต่อ่านแล้วพอเข้าใจ(หรือเปล่า?)

Solution

เห็นได้ชัดว่า $p$ ไม่ก็ $q$ ตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นเลขคี่ส่วนอีกตัวเป็นเลขคู่ นั่นคือ $2$ (เพราะ $p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะ)
ดังนั้น แยกเป็น $2$ กรณีดังนี้

1)$p=2$ ได้ว่า $2^x=q^{y}+1$
พิจารณา $q$ ได้ว่าสามารถแบ่งได้เป็น $2$ กรณีย่อยดังนี้
i)$q\equiv 1\pmod{4}$ ได้ว่า $2^x=q^{y}+1\equiv 2\pmod{4}$ ดังนั้น $x=1$ แต่จาก $x>1$ จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น
ii)$q\equiv 3\pmod{4}$ จาก $2^x\equiv 0\pmod{4}$ (เพราะ $x\geq 2$)
$\therefore (-1)^{y}+1\equiv q^{y}+1=2^x\equiv 0\pmod{4}$ นั่นคือ $y$ เป็นจำนวนคี่
ให้ $y=2k+1;\exists k\in\mathbb{Z}^{+}$ ได้ว่า $2^x=(q+1)(q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1)$
แต่จากที่ $q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งมีค่ามากกว่า $1$ (เพราะ $q\geq 3, k\geq 1$)
$\therefore 2\not|q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1$ ขัดแย้งกับที่ $2^x=(q+1)(q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1)$
ดังนั้นในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

2)q=2 ได้ว่า $p^{x}-1=2^y$
$(p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1)=2^y$
สมมติ $x$ เป็นเลขคี่ จะได้ว่า $2\not|p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1$ โดยที่ $p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1>1$ จึงขัดแย้งกับที่ $(p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1)=2^y$
$\therefore 2|x$
ให้ $x=2a;\exists a\in\mathbb{Z}^{+}$ ได้ว่า
$(p^a-1)(p^a+1)=2^y$
เห็นได้ว่า $p^a-1,p^a+1$ เป็นกำลังของ $2$ ซึ่งผลต่างของทั้งสองมีค่า $2$
$\therefore p^a+1=4,p^a-1=2$ นั่นคือ $p^a=3$ นั่นก็คือ $p=3,a=1$
$\therefore x=2,y=3$
และจาก $3^2-2^3=1$ จริง
ดังนั้นคำตอบทั้งหมดของสมการ $p^x-q^y=1$ ก็คือ $(p,q,x,y)=(3,2,2,3)$ เท่านั้น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ littledragon

ขอโทษครับลืมนึกถึงบทพิสูจน์อันแสนยากอะครับ
ขอถามนะครับถ้าเจอข้อแบบนี้แล้วเป็นข้อแสดงวิธีทำควรเขียนแสดงวิธีทำยังไงดีครับหรือว่าต้องเขียนพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ครั บ

ก็ไม่ต้องใช้ท.บ.นี้เลยไงครับ คิดซะว่าเราไม่รู้จักท.บ.นี้ครับ แล้วข้อที่คุณ Juniors มาโพสต์ไว้ ก็สามารถทำโดยไม่ต้องรู้ว่าท.บ.นี้เป็นจริงด้วยครับ

โดยส่วนตัว ผมเองก็เพิ่งรู้จากคุณ Juniors นี่แหละครับว่ามันมีท.บ.แบบนี้ด้วย

อะไรที่มันยากๆ อย่าเพิ่งรู้เลยครับ เอาพื้นฐานให้แน่น ใช้ให้แม่น ให้คล่องเสียก่อนแล้วค่อยไปทำความรู้จักกับอะไรที่มันยากๆขึ้นไปครับ เหมือนกับการสร้างตึก ถ้าฐานไม่ดี ตึกก็จะถล่มในที่สุด

ป.ล.ข้อของคุณ spotanus น่าจะมีคำตอบหลายคำตอบเอามากๆ เช่น $q=r=2,p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง $502$ กับ $638$ เป็นต้น มีวิธีที่ไม่ถึกจนเกินไปไหมครับ ข้อนั้น?

[Juniors]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

อะไรที่มันยากๆ อย่าเพิ่งรู้เลยครับ เอาพื้นฐานให้แน่น ใช้ให้แม่น ให้คล่องเสียก่อนแล้วค่อยไปทำความรู้จักกับอะไรที่มันยากๆขึ้นไปครับ เหมือนกับการสร้างตึก ถ้าฐานไม่ดี ตึกก็จะถล่มในที่สุด

ขอบคุณ คุณ owlpenguin มากนะครับ
ผมชอบคำพูดของคุณ owlpenguin จริง ๆ ครับ
Solution ทำเหมือนกันเลยครับ ถ้าใครมีวิธีที่แตกต่างจากนี้ก็มาแบ่งปันกันในนี้ได้นะครับ