ข้อสอบสอวน.ศูนย์หาดใหญ่ปี 2553

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เกือบจบแล้วครับ

$y=12(5x-7z)$

ดังนั้น $12|y$

แต่ $0\leq y\leq 9$

จึงได้ $y=0$

$x=7,z=5$

ขอบคุณท่านnooonuiiครับ

คำตอบ 852 ถูกไหมครับ

มีคำตอบอื่นอีกไหมครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงแสดงวิธีทำทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน


11.กำหนดให้ $P(x)=x^ {\color{red}{3}}-(2a+1)x^2-(b+5)x+9=0$ และ $Q(x)=x^2-(b+5)x+9$
โดยที่ $b$ เป็นจำนวนจริงลบ และ $x+1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ และ $Q(x)$ มีผลเฉลยเดียว จงหาค่าของ $a$

$Q(x)=x^2-(b+5)x+9 \ $ และ $ \ Q(x)$ มีผลเฉลยเดียว

แสดงว่า $x = \frac{b+5}{2}$

นั่นคือรากของสมการทั้งสองตัวคือคือ $ \frac{b+5}{2}$ ก็จะได้ว่า

$ = (x- \frac{b+5}{2})(x- \frac{b+5}{2}) = x^2-(b+5)x+9$

$x^2 -(b+5)x + \frac{1}{4}(b+5)^2 = x^2-(b+5)x+9$

โดยการเทียบ สปส จะได้ $ \frac{1}{4}(b+5)^2 = 9$

$b = 1, \ \ -11$

โจทย์กำหนด $b$ เป็นจำนวนจริงลบ

แทนค่า $b = -11$ ใน $P(x)=x^ {\color{red}{3}}-(2a+1)x^2-(b+5)x+9=0$ จะได้

$x^ {\color{red}{3}}-(2a+1)x^2-(-11+5)x+9=0$ ....(*)



$x+1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ ดังนั้น $(x+1)(x^2-(-11+5)x+9) $

$= x^3+6x^2+9x+x^2+6x+9 = x^3+7x^2+15x+9$

โดยการเทียบ สปส จะได้ $ \ \ -(2a+1) = 7$

$a = -4 \ \ \ Q.E.D$

[banker]

ที่เหลือเป็น พาราโบลา ประถมไม่ค่อยมีโจทย์พาราโบลา ยังไม่ได้ทบทวน ก็เลยทำไม่ได้ ที่ทำได้ ก็หมดแล้วครับ

อย่าหาว่าผมโซ้ยยยคนเดียวล่ะ

[กิตติ]

ข้อนี้มีหลายคนทำแล้ว...ไม่รู้ว่าทำแบบผมซึ่งก็ได้คำตอบเหมือนกัน จะบังเอิญที่คำตอบเท่ากันหรือเปล่า
$x^6=1 , x\not= \pm 1$ ให้หา$x^2+\frac{1}{x^2} $
$x^3\times x^3=1 \rightarrow x^3=\frac{1}{x^3} \rightarrow x^3-\frac{1}{x^3}=0$
$x^3-\frac{1}{x^3}=(x-\frac{1}{x} )(x^2+\frac{1}{x^2} +1) =0$
จะได้ว่า$x-\frac{1}{x}=0$ หรือ $x^2+\frac{1}{x^2} +1=0$
$x^2-1=0\rightarrow (x-1)(x+1)=0$ จากเงื่อนไขของโจทย์....ตัดส่วนนี้ไปเลย จึงสรุปว่า
$x^2+\frac{1}{x^2} +1=0$ ดังนั้น$x^2+\frac{1}{x^2} = -1$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้มีหลายคนทำแล้ว...ไม่รู้ว่าทำแบบผมซึ่งก็ได้คำตอบเหมือนกัน จะบังเอิญที่คำตอบเท่ากันหรือเปล่า
$x^6=1 , x\not= \pm 1$ ให้หา$x^2+\frac{1}{x^2} $
$x^3\times x^3=1 \rightarrow x^3=\frac{1}{x^3} \rightarrow x^3-\frac{1}{x^3}=0$
$x^3-\frac{1}{x^3}=(x-\frac{1}{x} )(x^2+\frac{1}{x^2} +1) =0$
จะได้ว่า$x-\frac{1}{x}=0$ หรือ $x^2+\frac{1}{x^2} +1=0$
$x^2-1=0\rightarrow (x-1)(x+1)=0$ จากเงื่อนไขของโจทย์....ตัดส่วนนี้ไปเลย จึงสรุปว่า
$x^2+\frac{1}{x^2} +1=0$ ดังนั้น$x^2+\frac{1}{x^2} = -1$

วิธีสวยมากครับ

[Keehlzver]

ขอคำเเนะนำข้อ 8 กับข้อ 12 หน่อยครับ

เเล้วก็รบกวนช่วยอธิบายตรงที่ว่า "มีเด็กเล่นเครื่องเล่นอย่างน้อย 2 ชนิด เป็น 55-20=35 คน" ให้หน่อยครับว่ามาได้อย่างไร

[nooonuii]

8. ทำยังไงให้สมการนี้มีคำตอบสามคำตอบ

$x^2+(Ax^2-1)^2=1$

12. สังเกตว่า $x-c>|x-a|+|x-b|\geq 0$

ดังนั้น $x>c$

ถ้า $x>c$ แล้วอสมการเป็นจริงได้ไหม ?

[กิตติ]

ข้อ8...ผมนั่งคิดเมื่อคืน วิธีเหมือนของคุณNOONUII แต่ผมใช้$x^2=\frac{y}{A} $ เพื่อไปหาค่า$y$...จากสมการวงกลม ผมเห็นคร่าวๆแล้วว่า ขอบเขตของ$y$เป็นค่าบวก เพราะวาดภาพแล้ว$y\geqslant 0$....จริงๆลองวาดกราฟแบบคร่าวๆเพื่อหาดูว่าวาดยังไงให้พาราโบลาตัดวงกลมสามจุด....จุดแรกที่เห็นคือ$(0,0)$ อีกสองจุดคงต้องแก้สมการดู
$x^2+(y-1)^2=1 \rightarrow \frac{y}{A} +(y-1)^2=1 \rightarrow Ay^2-(2A-1)y+(A-1)=0 $
สมการเมื่อข้างต้นเกิดจากการเขียนผิด..แก้ใหม่ตามข้างล่าง
$y=\frac{(2A-1)\pm 1}{2A} \rightarrow y=1,1-\frac{1}{A} $
เริ่มจาก$y=1$...แก้สมการวงกลมได้$x=\pm 1$....ได้อีกสองจุดคือ $(-1,1),(1,1)$
สำหรับ$y= 1-\frac{1}{A}$....จะแทนกลับไปในสมการพาราโบลาก็ได้ หรือ จากที่เรารู้ว่า$y\geqslant 0$ก็ได้
$y= 1-\frac{1}{A} \geqslant 0$
$A\geqslant 1$
ถ้าลองแทนกลับลงในสมการพาราโบลา...$1-\frac{1}{A}=Ax^2$
$Ax^2-(A-1)=0 \rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{A-1}{A}} $
$\frac{A-1}{A} \geqslant 0 \rightarrow A\geqslant 1$

ผมจำได้ว่าในสมการ$y=Ax^2$ ถ้าค่า$x$เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว ยิ่งค่า$x$มากเท่าไหร่ก็จะได้ว่าทำให้กราฟมันชันมากขึ้น ตัวพาราโบลาจะลีบติดแกน$y$มากขึ้น

ข้อนี้ผมมั่วตอบว่า$A\geqslant 1$

มาแก้ให้ถูกต้องตามที่คุณNOOONUIIช่วยดูให้
สมการเมื่อข้างต้นเกิดจากการเขียนผิด..ขอแก้เป็น
$ \frac{y}{A} +y^2-2y=0 \rightarrow Ay^2-(2A-1)y=0$
$y(Ay-(2A-1))=0 \rightarrow $ จะได้ว่า
$y=0$ หรือ $Ay-(2A-1)=0 \rightarrow y=\frac{2A-1}{A} $
นำค่า$y=\frac{2A-1}{A} $ไปแทนกลับในสมการ
$\frac{2A-1}{A} =Ax^2 \rightarrow 2A-1=A^2x^2$
$A^2x^2-(2A-1)=0 \rightarrow x^2-\frac{2A-1}{A^2}=0 $
$x=\pm \frac{\sqrt{2A-1}}{A} $
ได้เหมือนวิธีที่คุณNOOONUIIแนะนำ แต่ผมพาอ้อมโลก ทีนี้คำตอบตรงกันแล้วครับ
ขอบคุณคุณNOOONUIIอีกครั้งครับที่ช่วยตรวจทานจนเจอความเผลอเรอสับเพร่าของผม

[กิตติ]

ข้อ 8...ถ้าทำแบบบที่คุณNOOONUIIแนะนำ
$x^2+y^2-2y+1=1 \rightarrow x^2+y^2-2y=0$ แทน$y=Ax^2$
$x^2+(Ax^2)^2-2(Ax^2)=0$
$A^2x^4-(2A-1)x^2=0$
$x^2(A^2x^2-(2A-1))=0$
$x=0$ หรือ$x=\pm \frac{\sqrt{(2A-1)}}{A} $
จะเกิดสามคำตอบเมื่อ $2A-1 >0 \rightarrow A> \frac{1}{2} $
....ทำไมได้คำตอบไม่เท่ากัน...

[กิตติ]

13.กำหนดให้ $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b+c}{3}=\dfrac{c+a}{4}$ จงหาค่าของ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

ข้อ 13....ผมคิดได้$\frac{73}{15} $

$\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b+c}{3}$
$\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c}{2} =\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{c}{2}$
$\frac{a+b+c}{2} =\frac{2b+5c}{6} $
$3a+b-2c=0 \rightarrow c-a=\dfrac{a+b}{2}$
$c-a = \dfrac{c+a}{4} \rightarrow 3c=5a \rightarrow \frac{c}{a}=\frac{5}{3} $
แทน$c=\frac{5}{3}a $
$\frac{5}{3}a-a = \dfrac{a+b}{2} \rightarrow a=3b \rightarrow \frac{a}{b}=3 $
$\frac{c}{a}\times\frac{a}{b}= \frac{5}{3}\times 3 $
$\frac{c}{b} = 5 \rightarrow \frac{b}{c} = \frac{1}{5} $

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}= 3+\frac{1}{5} +\frac{5}{3} $
$= \frac{45+3+25}{15} =\frac{73}{15} $

[กิตติ]

15.กำหนดให้พาราโบลา $y=ax^2+bx+c$ ตัดแกน X ที่จุด $x=r$ และ $x=s$
จงหาพาราโบลาทั้งหมดที่ตัดแกน X ที่จุด $x=\dfrac{1}{r}$ และ $x=\dfrac{1}{s}$

$x=r$ และ $x=s$ เป็นรากของสมการ $y=ax^2+bx+c$...เป็นสมการกำลังสอง
ดังนั้น$r+s= -\frac{b}{a} $ และ $rs = \frac{c}{a} $
โจทย์ให้หาสมการของพาราโบลาที่ตัดแกน Xที่จุด $x=\dfrac{1}{r}$ และ $x=\dfrac{1}{s}$
ซึ่งก็คือหาสมการกำลังสองที่มี$\dfrac{1}{r}$ และ $\dfrac{1}{s}$เป็นรากของสมการ
ให้สมการนี้คือ$y=a_1x^2+b_1x+c_1$
แปลงเป็น$ y = x^2+\frac{b_1}{a_1}x +\frac{c_1}{a_1} $
จะได้ว่า$\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s} = -\frac{b_1}{a_1} $
$\frac{r+s}{rs}= \frac{ -\frac{b}{a} }{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{c} $
$-\frac{b_1}{a_1}= -\frac{b}{c}$
$\dfrac{1}{r}\times\dfrac{1}{s}= \frac{c_1}{a_1}$
$\dfrac{1}{rs} =\frac{a}{c} = \frac{c_1}{a_1} $
จะได้ว่าคือสมการ$y= x^2+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}$
แปลงต่อได้เป็น$y= cx^2+bx+a$

ขอตอบว่าสมการพาราโบลาที่ต้องการคือ $y= cx^2+bx+a$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$x^2+(y-1)^2=1 \rightarrow \frac{y}{A} +(y-1)^2=1 \rightarrow Ay^2-(2A-1)y+(A-1)=0 $

ลองดูบรรทัดนี้อีกครั้งครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับที่ช่วยตรวจทานให้ สับเพร่าจริงๆเลยผมเนี่ย
แก้แล้วครับ

[Keehlzver]

สุดท้ายเเล้วครับ

ไม่ทราบว่้าข้อ 5 ทำอย่างไรครับ ได้ A=2 หรือเปล่าครับ รบกวนด้วยครับ

[กิตติ]

5.จงหาค่าของจำนวนจริง $A$ ทั้งหมดที่ทำให้เซตคำตอบของอสมการ $\dfrac{x^2-5x+6}{x-A}\geqslant 0$ เป็นช่วงเดียวที่ต่อเนื่อง

ไม่รู้ว่าจะทำถูกไหม
$\dfrac{x^2-5x+6}{x-A}\geqslant 0$
$\dfrac{(x-3)(x-2)}{x-A}\geqslant 0$
$(x-3)(x-2)(x-A) \geqslant 0$
เราจะได้ว่าช่วงคำตอบบนเส้นจำนวนที่สอดคล้องกับการที่ฟังก์ชันนี้เป็นบวกตามโจทย์ จะมี 2 ช่วงถ้ามีตัวหลักบนเส้นจำนวน 3 ตัว ดังนั้นจึงไม่เข้ากับที่โจทย์ต้องการคือ เป็นช่วงเดียวที่ต่อเนื่อง ดังนั้น$A$จึงต้องเป็น$2$ หรือ $3$ เพื่อให้อสมการยุบเหลือแค่ $x-2 \geqslant 0$ เมื่อ$A=3$ แต่ต้องเว้นค่า$x=3$ ช่วงของคำตอบจึงไม่เป็นช่วงเดียวที่ต่อเนื่อง อีกกรณีหนึ่ง$A=2$ อสมการจะยุบลงเหลือแค่$x-3 \geqslant 0$ ซึ่งไม่ต้องเว้นค่า$x=2$ เพราะค่านี้ไม่รวมในช่วง$x \geqslant 3$....ดังนั้นจึงสรุปว่ามี $A=2$ ที่ทำให้คำตอบของอสมการนี้เป็นช่วงเดียวที่ต่อเนื่อง
...ทำไมดูมันเป็นตรรกะมากกว่าการตอบเชิงคณิตศาสตร์ หรือว่าคำตอบไม่ใช่อย่างที่ผมหาได้