มาราธอน ค่าย 1

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

Geometry

1. วงกลม I แนบในสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สัมผัส AB,BC,CA ที่ F,D,E ตามลำดับ ลากส่วยสูง AK และ ให้ P เป็นจุดบน AK ซึ่งทำให้ AP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม M ที่สัมผัสภายนอกวงกลม I และตัด AB,AC ที่ X,Y ตามลำดับ ถ้า AE=15,XY=8 และรัศมีวงกลม M คือ 5 จงหา BC

รูปทั่วไปเป็นแบบนี้


แต่ถ้าเป็นข้อสอบที่เติมคำตอบ ไม่ต้องแสดงวิิธีทำ เราก็ลักไก่ สร้าง ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วดังรูป
(ยังไงสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลมก็ต้องเป็นคำตอบหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมแหลมใดๆแหละน่า)



จะได้ $AX = 4\sqrt{5} $

โดยสามเหลี่ยมคล้าย

$\frac{8}{2s} = \frac{4\sqrt{5} }{15+s}$

$s = \frac{15}{4}(\sqrt{5} +1)$

$BC = \frac{15}{2}(\sqrt{5} +1)$


เดี๋ยวค่อยหาวิธีพิสูจน์รูปแบบทั่วไป

[Beatmania]

#47 AM-GM ปกติครับ พี่จูกัดเหลียงคิดลึกจัง

My sol'n

Inequality
2.$\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[27]{\frac{(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)}{3} } $

$\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[27]{\frac{(a+b+c)^3}{3} -8} $

$ให้ \frac{a+b+c}{3}= x$

$x \geqslant \sqrt[27]{9x^3 -8} $

$x^{27}\geqslant 9x^3-8$

$x^{27}+8\geqslant 9x^3$

เป็นจริงจาก AM-GM

$\frac{x^{27}+1+1+1+1+1+1+1+1}{9} \geqslant \sqrt[9]{x^{27}} $

$x^{27}+8\geqslant 9x^3$

[จูกัดเหลียง]

5555 จริงด้วยครับ
ส่วนข้อเรขากับอสมการอีกอันคิดไม่ออกอ่ะครับ ช่วย Hint หน่อย

[Euler-Fermat]

ผมเติม โจทย์ให้ หน่อยซึ่งบางข้อผมยังคิดไม่ออกเหมือนกัน
Algebra
1.จงแยกตัวประกอบของ
$(x+1)^3(x^2+1)^2(x^3+1) = 450x^5 $

2.ให้ $x_i$ เป็น จำนวนจริงที่ $0<x_i<1 $
จงแสดงว่า $(x_1+x_2+....+x_n+1)^2 \geq 4(x_1 ^2 +x_2^2+...+x_n^2)$

Geometry
1.กำหนดรูปหกเหลี่ยม ABCDEF มีสมบัติว่า AB=BC , CD = DE , EF = FA
จงแสดงว่า$ \dfrac{BC}{BE}+ \dfrac{DE}{DA}+ \dfrac{FA}{FC} \geq \dfrac{3}{2}$

2.กำหนด ABCDE เป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่ง AB = BC, มุม ABE+มุม DBC = มุม EBD และ มุม AEB+มุม BDC = 180
จงพิสูจน์ว่า จุด Orthocenter ของ สามเหลี่ยม BDE อยู่บน AC

[Thgx0312555]

2.algebra
จาก $0<x_i<1,x_i^2<x_i$
$(x_1+x_2+\cdots+x_n+1)^2=(x_1+x_2+\cdots+x_n-1)^2+4(x_1+x_2+\cdots+x_n) \ge 4(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)$
จึงได้ตามต้องการครับ

[Thgx0312555]

ข้อ $x^y=y^x$
เห็นได้ชัดว่า x กับ y ต้องมีชุดของจำนวนเฉพาะที่หารลงตัวร่วมกัน
เมื่อ x,y>1
ให้ $x=p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots p_n^{i_n}, y=p_1^{j_1}p_2^{j_2}\cdots p_n^{j_n}$

พิจารณา $z$ เมื่อ $p^z_m || x^y, 1 \le m \le n$
จาก $x^y=y^x$ จะได้ $i_my=j_mx$

นั่นคือ $\dfrac{i_m}{j_m} = \dfrac{x}{y}=\dfrac{c}{d}$ เมื่อ $\dfrac{c}{d}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

จาก $c|i_m$ และ $d|j_m$
ให้ $a = p_1^{\frac{i_1}{c}}p_2^{\frac{i_2}{c}}\cdots p_n^{\frac{i_n}{c}}$

จึงได้ $x=a^c,y=a^d$

WLOG ให้ $c \ge d$
ถ้า $c=d$ เห็นได้ชัดว่าสมการเป็นจริง (กรณีนี้จะได้ x=y)
ถ้า $c>d$
จาก $\dfrac{c}{d}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำของ $\dfrac{x}{y}$
$c=a^{c-d},d=1$

$c=a^{c-1},y=a$
ซึ่งผลเฉลยเดียวที่สอดคล้องคือ $a=2,c=2$ (ถ้า a=1 จะขัดแย้งกับเงื่อนไข)
(x,y)=(2,4),(4,2)

ถ้า x หรือ y เท่ากับ 1 ได้คำตอบเดียวเป็น (1,1)

$\therefore x=y \ \bigvee \ (x,y)=(2,4),(4,2)$ เป็นผลเฉลยของสมการนี้ครับ <แอบยาว>

[~ArT_Ty~]

Geometry 1 ลองใช้ Ptolemy's Inequality ดูครับ ไม่แน่ใจว่าได้มั้ย =3="

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

Geometry
1.กำหนดรูปหกเหลี่ยม ABCDEF มีสมบัติว่า AB=BC , CD = DE , EF = FA
จงแสดงว่า$ \dfrac{BC}{BE}+ \dfrac{DE}{DA}+ \dfrac{FA}{FC} \geq \dfrac{3}{2}$

ยังคิดไม่ออก เอารูปมาใส่ให้ก่อน เผื่อมีคนต้องการใช้

ACE เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือเปล่า ?




ยังไม่ได้ลอง Ptolemy's Inequality

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

2.กำหนด ABCDE เป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่ง AB = BC, มุม ABE+มุม DBC = มุม EBD และ มุม AEB+มุม BDC = 180
จงพิสูจน์ว่า จุด Orthocenter ของ สามเหลี่ยม BDE อยู่บน AC

รูปครับ (ใส่ค่ามุมที่สมมุติขึ้นไว้ให้ด้วย) เผื่อคนสนใจนำไปใช้ (กำลังสอนหลานใช้ GSP)

[polsk133]

#55 ก็ลองสิครับ จะได้ทำได้อีกข้อ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

#55 ก็ลองสิครับ จะได้ทำได้อีกข้อ

คนบ้ายุ ลองก็ลอง ลองมั่วดู



ถ้า ABCE แนบในวงกลม โดย Ptolemy's theorem จะได้

$ox = 2oa \ \ \to x = 2a \ \ \to \frac{BC}{BE} = \frac{1}{2}$

ทำนองเดียวกัน จะได้

$ \frac{DE}{DA} = \frac{1}{2}$

$ \frac{FA}{FC} = \frac{1}{2}$

นั่นคือ
$ \frac{BC}{BE} + \frac{DE}{DA} + \frac{FA}{FC} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$



ถ้า ABCE ไม่แนบในวงกลม โดย Ptolemy's inequality จะได้

$ oa +oa \geqslant ox \ \ \to 2a \geqslant x \ \ \to \frac{BC}{BE} \geqslant \frac{1}{2}$

ทำนองเดียวกัน จะได้

$ \frac{DE}{DA} \geqslant \frac{1}{2}$

$ \frac{FA}{FC} \geqslant \frac{1}{2}$

นั่นคือ
$ \frac{BC}{BE} + \frac{DE}{DA} + \frac{FA}{FC} \geqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geqslant \frac{3}{2} \ \ \ Q.E.D.$


ดูๆไปมันยังทะแม่งๆ มีช่องใหว่อยู่

(คงต้องพิสูจน์ว่า สามเหลี่ยมข้างในเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และพิสูจน์ Ptolemy's inequality ด้วยหรือเปล่า )

[banker]

ขอยืมที่มีคน proof ไว้แล้ว


proof of Ptolemy's inequality

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

(คงต้องพิสูจน์ว่า สามเหลี่ยมข้างในเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และพิสูจน์ ด้วยหรือเปล่า )

ถ้าไม่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าล่ะครับ + Ptolemy's inequality ไม่ต้องพิสูจน์ก็ได้

[Pain 7th]

#48 คำตอบไม่เท่ากับผมอ่ะครับ ขอลองตรวจทานก่อน ลองคิดกรณีทั่วๆ ไปด้วยนะครับ

อสมการข้อ 2 ข้องคุณ จูดกัดเหลียง ทำไงอ่ะครับ ผมทำแล้วกลับข้างตลอดเลยมันน่าจะ sharp มากๆเลยอ่ะ = =

[Pain 7th]

combinatorics ข้อแรกนะครับ ก็ให้ $x_i$ แทนจำนวน ชั่วโมงในการอ่านหนังสือตั้งแต่วันแรกถึงวันที่ i ดังนั้น

$1 \leq x_1 < x_2<x_3 < ... <x_ {37} \leq 60$

โจทย์บอกให้พิสูจน์ว่า ต้องมีช่วงเวลาที่อ่านหนังสือรวมกันได้ 13 ชั่วโมง ดังนั้นต้องมีน $x_j=x_k+13$

$x_i , i=1,2,3,...,37$ เป็นจำนวนเต็มแตกต่างกัน ดังนั้น $x_i+13,i=1,2,3...,37$ เป็นจำนวนเต็มแตกต่างกัน

$x_1+13 <x_2+13 <x_3+13 < ... < x_{37}+13 \leq 73$

ใน $x_1,x_2,...,x_{37},x_1+13,x_2+13,...,x_{37}+13$ อยู่ในช่วง $1-73$

ดังนั้น จะมี $x_j=x_k+13$ จะได้ $x_j-x_k =13$ โดย $1 \leq k < i \leq 37$