ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

[นักเรียนทุน]

โจทย์มีอยู่ว่า
จงแสดงว่า ถ้า x $ \in \mathbb {R} $ แล้ว จะมีลำดับ (r_n) ซึ่ง lim r_n (n $\rightarrow \infty $ ) = x

คือที่ผมคิดไว้มันดูแปลกๆ ซึ่งผมใช้แค่ทฤษฎีบทความหนาแน่นเพียงอย่างเดียว รบกวนผู้รู้ทำให้ดูหน่อยนะครับ

[nooonuii]

ก็ทำแบบนั้นแหละครับ

ให้ $n\in\mathbb{N}$

โดยความหนาแน่นของจำนวนตรรกยะ เราสามารถหา

$r_1\in (x-1,x+1)$

$r_2\in (x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$

$\vdots$

$r_n\in (x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})$

ที่เหลือลองพิสูจน์ว่า $r_n\to x$

อาจจะต้องใช้ Archimedean property ด้วยนิดหน่อยครับ

[นักเรียนทุน]

อ่อครับ ขอบคุณคุณ nooonuii มากนะครับ