ข้อสอบ AITMO 2011

[Suwiwat B]

ข้อ 3 ประเภททีมครับ

[nooonuii]

ข้อ $3$ ประเภททีมใช้ AM-GM ทีเดียวก็ออกแล้วครับ

[Suwiwat B]

ข้อ 3 sectionB ประเภทบุคคลครับ

[กิตติ]

ลองทำตามที่คุณNoooNuiiแนะนำ

$a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd \geq 10(\sqrt[10]{(abcd)^5} )$
$\geq 10(\sqrt{abcd}) $
$\geq 20$

[ทิดมี สึกใหม่]

แบ่งพื้นที่ออกเป็น 4 ส่วน , กำหนดให้ AF=x ,FB=y ,
กำหนดให้พื้นที่ทั้งหมด = m ตารางหน่วย และ
$\quad$ หาพื้นที่ส่วนต่าง ๆ ดังนี้

$\quad$ พื้นที่ BFC = $\frac{y}{x+y}$ ของ ABC =$\frac{my}{x+y}$ .....(ก)

$\quad$ พื้นที่ BFD = $\frac{k}{k+k}$ ของ BFC =$\frac{my}{2(x+y)}$ ...(1)


$\quad$ พื้นที่ FDE = 2 x พื้นที่ BFD = $\frac{my}{x+y}$ .......(2)

$\quad$ พื้นที่ AFC = $\frac{x}{x+y}$ ของ ABC =$\frac{mx}{x+y}$ .....(ข)
$\quad$ พื้นที่ AFE = $\frac{2p}{2p+3p}$ ของ AFC =$\frac{2mx}{5(x+y)}$ .....(3)

$\quad$ พื้นที่ ADC = $\frac{k}{k+k}$ ของ ABC =$\frac{m}{2}$ .....(ค)
$\quad$ พื้นที่ DEC = $\frac{3p}{2p+3p}$ ของ ADC =$\frac{3}{5}$ของ ADC=$\frac{3m}{10}$ .....(4)

นำพื้นที่ทั้ง 4 ส่วนมารวมกันได้ $\quad$ (1)+(2)+(3)+(4)=m

$\qquad$m =$\frac{my}{2(x+y)}$+ $\frac{my}{x+y}$+$\frac{2mx}{5(x+y)}$+$\frac{3m}{10}$

$\qquad$ $\frac{m(x+y)}{(x+y)}$ =$\frac{my}{2(x+y)}$+ $\frac{my}{x+y}$+$\frac{2mx}{5(x+y)}$+$\frac{3m(x+y)}{10(x+y)}$

$\qquad$ $\frac{10m(x+y)}{10(x+y)}$ =$\frac{5my}{10(x+y)}$+ $\frac{10my}{10(x+y)}$+$\frac{4mx}{10(x+y)}$+$\frac{3m(x+y)}{10(x+y)}$

$\qquad$ $\qquad$ $10m(x+y) = 15my +4mx+3m(x+y)$


$\qquad$ $\qquad$ $10mx+10my = 15my +4mx+3mx+3my$

$\qquad$ $\qquad$ $3x = 8y$
ดังนั้น ตอบ $\qquad$ $\qquad$ $\frac{x}{y}$=$\frac{AF}{FB}$=$\frac{8}{3}$

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 6.จากจำนวน $n^2-n+1$ จนถึง $n^2+n+1$ มีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n+1$
$n^2-n+1$ และ $n^2+n+1$ ต่างก็เป็นจำนวนคี่
จำนวนคู่จำนวนแรกคือ $n^2-n+2$ และจำนวนคู่ท้ายคือ $n^2+n$ จะมีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n-1$
สูตรหาผลบวกของอนุกรมนี้คือ $\frac{(2n-1)(n^2+1)}{4} $
$10000<(2n-1)(n^2+1)<12000$
$n=18$

จำนวนพจน์ของเลขคู่น่าจะเป็นดังนี้นะครับ ไม่รู้เข้าใจถูกหรือเปล่า
จำนวนพจน์ทั้งหมดของเลขคู่ =$\frac{จำนวนคู่สุดท้าย -จำนวนคู่ตัวแรก}{2} $+1
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$=$\frac{(n^2+n)-(n^2-n+2)}{2} $+1
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$=$n$

[กิตติ]

เดี๋ยวขอกลับไปแก้ืที่คิดไว้ เป็นไปตามที่คุณทิดมี สึกใหม่ช่วยดูให้ ขอบคุณครับ

[math ninja]

ข้อ 3 บุคคล part A ตอบ 42
ช่วงแรก 15 วิ
ช่วงที่ 2 12 วิ
ช่วงที่ 3 9 วิ
ช่วงที่ 4 6 วิ
รวมเป็น 42 วิ
ข้อ 5 บุคคล part A ตอบ 84
แยกกรณีเอา
ข้อ 10 บุคคล part A ตอบ 87
ใช้วาดแผนผังเซต แล้วตั้งสมการหาเอา
น้อยสุดคือ 87

[math ninja]

ช่วยคิดข้อ 11 บุคคล part A และข้อ 2 บุคล part B ที

[Suwiwat B]

ข้อ 11 ผมคิดเเบบนี้นะครับ
โจทย์ต้องการค่าน้อยสุดของ $\displaystyle\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 2011 }^{}(a_i a_j)$
$$= \frac{1}{2}[(\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2 - \sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2 ]$$
ดังนั้น ค่าจะน้อยสุดก็ต่อเมื่อ $\displaystyle(\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2$ น้อยสุด เเละ $\displaystyle\sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2$ มากสุด คิดได้สองกรณี
กรณีที่ 1 :$\displaystyle (\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2 $เป็น$ 0$ จะได้ว่ามันจะต้องมี$ 0$ อยู่ 1 ตัวเเละ $1$ กับ$ -1$ เป็น$จำนวนเท่ากัน$ เพื่อทำให้$\displaystyle \sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2$ มีค่าสูงสุดคือ $2010 $ทำให้ค่าที่โจทย์ต้องการเป็น $$\frac{1}{2}[0-2010] = -1005$$

กรณีที่ 2 : $\displaystyle (\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2$ เป็น$ 1 $จะได้ว่ามันจะต้องมี$ 1$ มากกว่า $-1$ หรือ$ -1 $มากกว่า $1$ เป็นจำนวน 1 ตัว เพื่อทำให้ค่า $\displaystyle \sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2$ มีค่าสูงสุดคือ$ 2011 $ทำให้ค่าที่โจทย์ต้องการเป็น $$\frac{1}{2}[1-2011] = -1005$$

จากทั้งสองกรณีจะได้ว่าค่าต่ำสุดของ $\displaystyle\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 2011 }^{}(a_i a_j)$ คือ $-1005$

[math ninja]

ข้อ 6 ทีม ตอบ 999981 ถึง 1000018
ใช่เปล่า

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$2^{\color{red}{5}} + 7 ^{\color{red}{2}} = \color{red}{3}^4$

$xyz = 5 \times 2 \times 3 = 30$

ข้อนี้นั่งแทนอย่างเดียวใช่มั้ยครับ
หรือมีวิธีอื่น

[banker]

ยังคิดวิธีไม่ออก เล็งไปเล็งมา

ถ้าวงกลมทั้งสองเท่ากัน และผ่านจุดศูนย์กลางซึ่งกันและกัน

มุม C ก็น่าจะเท่ากับ 60 องศา

[pont494]

ช่วยแปลโจทย์ประเภทเดี่ยว ตอนแรก ข้อ 5 ตอนสอง ข้อ 2 ผมอ่านไม่เข้าใจเลยครับ
และช่วยแสดงวิธีทำ ตอนแรก ข้อ 12 ให้ละเอียดหน่อยได้ไหมครับ ผมไม่ค่อยเข้าใจ
กับตอนสอง ข้อ 3 ให้หน่อยครับ ขอบคุณมากนะครับ

[computer]

ข้อ 5 ตอนแรก
ให้หาจำนวนวิธีซื้อลูกแก้ว 1 ถุง (ใน 1 ถุงมีลูกแก้ว 10 ลูก) โดยที่ในถุงนั้นต้องมีลูกแก้วครบทุกสี (มี 4 สี)

ประมาณว่าถ้าจะซื้อลูกแก้วตามเงื่อนไขดังกล่าวจะซื้อได้กี่ถุงที่ต่างกันนะค่ะ

hint

stars & bars