ขอความช่วยเหลือ: Number Theory Project

[shin]

ตอนนี้ผมกำลังหาหัวข้อเรื่องในการทำปัญหาพิเศษ
อยากให้พี่ๆช่วยแนะนำเรื่องในการทำปัญหาพิเศษหน่อยครับ
ผมอยากได้เรื่องเกี่ยวกับ Number Theory ครับ

Edit หัวข้อให้ชัดเจนกว่าเดิมครับ

[noghmi]

หนังสือ ของ สอวน ก็มีนะครับเรื่องนี้ หรือว่า เข้าไปที่เว็บวิชาการ จะมีกระทู้คณิตที่เฉลยทฤษฎีจำนวนของสอวนอยู่นะ ไม่งั้นก็ดูในหนังสือม.4เทอม1แต่รู้สึกว่าไม่ค่อยหนำใจเท่าไร

[M@gpie]

บอกว่าปัญหาพิเศษก็ดูจะกว้างอยุ่นะครับ น่าจะเอาไปเป็น presentation เพื่อสัมมนา รึเปล่าครับ?
อันนี้เป็นความคิดผมเองคือ อาจจะมีแล้วแต่ผมยังไม่เคยเห็น(และผมอยากรู้เอง 55) ก็เป็นวิวัฒนาการของ ทฤษฏีจำนวน ตั้งแต่เริ่มต้นจากอะไร และมีนักคณิตศาสตร์ที่เริ่มศึกษากันอย่างเป็นระบบ และ เรื่องอะไรบ้าง ไม่รู้ว่าใช้ได้รึเปล่า แหะๆ

[shin]

ตอนนี้ผมเรียน ปี 4 ครับต้องทำปัญหาพิเศษ คือ อาจจะเป้นทฤษฎี ใหม่ๆๆ หรือ อาจจะศึกษาต่อจากpaper ครับ ผมคิดไม่ออกอ่า อย่าง เช่น คำตอบของ 3/n=(1/a)+(1/b)+(1/c) เมื่อ nเป็นจำนวนเต็มคี่ ที่หารด้วย 3ไม่ลงตัว และ a b c เป็นเต็มบวก จะได้คำตอบ แบบแรก คือ .... จำไม่ได้อ่า เป็งสัมมนาเพื่อน แอบดูมันมา

[M@gpie]

ถ้าจะถามเรื่อง paper ทางคณิตศาสตร์ผมก็ไม่รู้แล้วล่ะครับ อิอิ ถึงได้ถามก่อนว่าจะเอาไปทำ presentation อะไรซักอย่างใช่รึเปล่า? ก็รอท่านอื่นๆมาเสนอกันต่อไป

[gon]

เว็บนี้เลยครับ. arxiv

[warut]

ไม่ทราบคุณ shin ยังสนใจจะทำทาง number theory อยู่มั้ย หรือว่าเปลี่ยนไปทำเรื่อง matrix แล้ว พอดีวันนี้ผมนึกเรื่องเกี่ยวกับ Sierpinski number ที่ไม่ง่ายไม่ยากจนเกินไปได้ ถ้าสนใจก็บอกมาได้นะครับ

[shinn]

สนใจครับ เพราะตอนนี้ผมก็กำลังทำเมตริกก็ ติดยุ่งไปหมดครับ กำหนดส่งก็มกราคม แต่ยังไม่ถึงไหนเลยครับพี่ ตอนนี้ยังไงก็ได้ครับ ผมจะไม่จบอยู่แล้ว 555 เด็กมข.เศร้า

[warut]

เป็นการพิสูจน์ว่ามี Sierpinski number อยู่เป็นอนันต์ครับ outline ของการพิสูจน์มันอยู่ในรูปของโจทย์ดังนี้

Denote by $F_k$ the $k$-th Fermat number, i.e. $F_k=2^{2^k}+1$.

1. Show that $F_k$ is prime for $0\le k\le4$ but that $641\mid F_5$.

2. Let $h>1$ be an integer such that $$h\equiv1\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4}.$$ If $h\cdot2^n+1$ is prime, show that $32\mid n$.

3. Conclude that there exists an integer $a$ such that if $$h\equiv a\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4F_5}$$ and $h>1$, then for all $n\in\mathbb N$, $h\cdot2^n+1$ is composite.

ก็ทำไปละกันนะครับ ติดตรงไหนค่อยมาว่ากันอีกที ส่วนความรู้พื้นฐานทั่วไปเกี่ยวกับ Sierpinski number ก็หาได้จากกระทู้ของผมอันนั้น และจากเน็ต เช่น Wikipedia แต่อย่าใช้ของ MathWorld นะครับ เพราะนิยามที่นั่นไม่ใช่อันมาตรฐานที่คนอื่นเขาใช้กัน

[shinn]

ขอบคุณครับ จะทำให้เร็วที่สุดนะครับ แต่เสา อาทิตนี้ผมมีสอบที่จุฬา ไปสอบ CU-TEP เก็บไว้สอบต่อโทรเดือนมกรา แฮ่ๆๆ ป.ตรียังจะไม่จบหวังจุฬา
ผมจะพยายามครับบบ

[shinn]

ข้อ 1 พอไหวครับ สำหรับ F5 ใช้ 5 X $2^7$ บ-1 (mod641) ยกกำลังสี่ ครับ
พอข้อ 2 ไม่รู้จะไปทางไหนดีครับพี่ หรือจะเขียน n=32q+r เมื่อ 0ฃ r<32 แล้วก็พิสูจน์ ว่า r = 0แต่ก็ไปไม่รอด ครับ แนะด้วยครับ

[warut]

First, try to prove that for each integer $r,\, 1\le r\le31$, the number $2^r+1$ is divisible by some $F_k,\, 0\le k\le4$. Do not use exhaustive calculation; there is a better way.

[shinn]

ข้อ 2. ผมทำตามที่พี่แนะนำ แต่ผมไม่เข้าใจครับว่า ผมพิสูจน์ได้ว่า
ถ้า 1ฃ r ฃ 31 แล้ว $2^r$+1บ 0 (mod $F_k$) บาง 0ฃ k ฃ 4 มันจะเกี่ยวข้องกับข้างต้นที่พิสูจน์ยังไงครับ

[shinn]

.................ผมเข้าใจแล้วครับพี่.......................
ข้อ2. ผมเริ่มยังงี้ครับ
พิสูจน์ :
สมมติ h.$2^n$ +1 เป็นจำนวนเฉพาะ
ให้ n = 32q+r บางจำนวนเต็ม r ที่ 0 ฃ r ฃ 31
สมมติ r น 0 \ 1 ฃ r ฃ 31
จาก hบ 1 (mod $F_5$ -2 )
ดังนั้น h.$2^ n$ +1 บ $2^n$ +1 (mod $F_5$ -2 )
บ $2^{32q+r}$+1 (mod $F_5$ -2 )
บ $2^r$ +1 (mod $F_5$ -2 )
นั่นคือ h.$2^ n$ +1 =( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($2^r$ +1) ...........................(*)
คาดว่า
"สำหรับ 1 ฃ r ฃ 31 แล้ว $2^r$+1 บ 0 (mod $F_k$) บางจำนวนเต็ม k ที่ 0 ฃ k ฃ 4 "
กรณี r= 2t +1 เมื่อ t = 0,1,...,15
จะได้ $2^r$+1 บ $2^{ 2t+1}$ +1 (mod $F_0$)
บ $2^{ 2t+1}$ +1 (mod $F_0$)
บ $2^1$ +1 (mod$F_0$)
บ 0 (mod $F_0$)

ดังนั้น $2^r$+1 = $F_0$.w บาง w เป็นจำนวนเต็ม
จาก (*) จะได้ h.$2^ n$ +1 =( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($2^r$ +1)
=( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($F_0$.w)
=[$F_0$].[( $F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+w]
ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง กับ h.$2^ n$ +1 เป็นจำนวนเฉพาะ

กรณี อื่นๆ ก็เหมือนกันครับ
ดังนั้น 32 l n
ขอบคุณครับ
.................................................................../////..................................
ข้อ3 แนะนำหน่อยครับ แฮ่ๆๆๆ
***ผมขอถามล่วงหน้าไปเลยนะครับว่า ถ้าพิสูจน์ได้ทั้ง 3 ข้อแล้ว นี่เพียงพอกับการที่จะแสดงว่า มีจำวนว Sierpinski numberที่เป็นจำนวนประกอบ เป็นอนันต์ แล้วเหรอครับพี่

[warut]

สัมพันธ์กันอย่างงี้ครับ $$x\equiv y\pmod{mn} \quad \Rightarrow \quad x\equiv y\pmod m$$ ถ้าเขียนแทน $F_0F_1F_2F_3F_4$ ด้วย $F_5-2$ จะทำให้มองเห็นความสัมพันธ์อันนี้ได้ยากครับ

ส่วนเรื่องที่ผมให้พิสูจน์นั้น ให้เขียน $r$ ในรูป $s\cdot2^k$ โดยที่ $s$ เป็นจำนวนคี่ แล้วพิจารณา $2^r+1$ ดูอีกทีครับ