พิสูจน์อสมการครับ

[Suwiwat B]

ติดพันกับอสมการข้อนี้มานานเเล้วครับ (เนื่องจากไม่ชอบ ไม่รู้จะทำยังไง) รบกวนผู้รู้ด้วยครับ
1.$a,b,c>0$ จงเเสดงว่า
$$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geqslant (a+b+c)^3$$

2.กำหนดให้ $a,b,c>0$ เเละ $a^2+b^2+c^2=1$ จงเเสดงว่า
$$a+b+c+\frac{1}{abc}\geqslant 4\sqrt{3}$$

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ข้อเเรกมีคนเคยเฉลยเเล้วครับ $$a^5-a^2+3\ge a^3+2$$
เเละ Holder $(a+b+c)^3\le \pi(a^3+2)$

[nooonuii]

มีคนเฉลยไว้หมดแล้วล่ะครับ อย่างเช่นข้อสองอยู่ที่

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

$a+b+c+\frac{9}{(a+b+c)^3}+\frac{9}{(a+b+c)^3}+\frac{9}{(a+b+c)^3} \geq 4\sqrt[4]{\frac{3^6}{(a+b+c)^8}}=\frac{4\sqrt[4]{3^6}}{(a+b+c)^2} \geq 4\sqrt{3}$ โดย AM-GM เเละ $(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)=3$

[Suwiwat B]

ขอบคุณมากครับ ขออนุญาตต่อนะครับ น่าจะเป็น AM-GM เเต่มองไม่มองครับ
3. จงหาค่าต่ำสุดของ $2x+3y+5z$ เมื่อ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $xyz^2=2500$

4. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบใดๆ ซึ่ง $x+y=100$ จงหาค่าสูงสุดของ $x^2y^3$

[Suwiwat B]

อืม .. ลืมไปเลยครับว่าใช้วิธีหาอนุพันธ์เอาได้ .. ขอบคุณคุณเเฟร์มากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

3. จงหาค่าต่ำสุดของ $2x+3y+5z$ เมื่อ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $xyz^2=2500$

4. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบใดๆ ซึ่ง $x+y=100$ จงหาค่าสูงสุดของ $x^2y^3$

3. $2x+3y+\dfrac{5z}{2}+\dfrac{5z}{2}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{75xyz^2}{2}}$

4. $x^2y^3=2^2\cdot 3^3\left(\dfrac{x}{2}\right)^2\left(\dfrac{y}{3}\right)^3\leq 2^2\cdot 3^3\left(\dfrac{x+y}{5}\right)^5$

[Suwiwat B]

อืม มองยากจริงๆ = = ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

แสดงวิธีคิดข้อ 3 ให้ครับ

ดูที่เงื่อนไขมี $x,y$ อย่างละตัว ในขณะที่มี $z$ สองตัวคูณกัน

แสดงว่าต้องจัด $2x+3y+5z$ ให้มีจำนวน $x,y,z$ ตรงตามที่เงื่อนไขกำหนด (ไม่เช่นนั้นจะไม่ได้ตัวเลขออกมา)

จึงต้องแบ่ง $5z$ ออกเป็นสองส่วน แต่จะแบ่งยังไงให้ได้ค่าต่ำสุด ? ก็ต้องแบ่งให้เท่ากันเพราะ AM-GM เป็นสมการเมื่อทุกตัวแปรเท่ากัน

$\langle\langle$ ถ้าแบ่ง $5z$ เป็น $z+4z$ จะทำให้สมการเกิดไม่ได้ เพราะสมการเกิดเมื่อ $z=4z$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนจริงบวก $\rangle\rangle$

จึงเขียน

$2x+3y+5z=2x+3y+\dfrac{5z}{2}+\dfrac{5z}{2}$

สมการเกิดเมื่อ $2x=3y=\dfrac{5z}{2}=\dfrac{5z}{2}$ จะเห็นว่าเป็นไปได้

[Suwiwat B]

อืม กำลังสงสัยว่าทำไมต้องเเบ่งเป็น $\frac{5}{2}$ ขอบคุณมากครับ