จะหาค่า cos72 องศา ได้ยังไง

[gon]

ผมคิดได้ 2 วิธี
อยากทราบว่า คนอื่น ๆ จะคิดยังไงครับ

[ 13 เมษายน 2001: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้วจากคุณ: gon ]

[xlover13]

ผมทำอย่างนี้ครับพี่มังกร
cos 72 = sin 18
ให้ x = 18 องศา
ตั้งสมการขึ้นมาว่า
36 + 54 = 90 (องศาทั้งหมดครับ)
36 = 90 - 54
sin36 = sin(90-54)
sin 2x = sin(90-3x)
2 sinx cosx = cos 3x
2 sinx cosx = 4(cos^3)x - 3cos x
เอา cos x หารตลอด (ยังไงก็ตาม cos 18 ย่อม
ไม่เท่ากับศูนย์ ใช่มั้ยครับ )
2 sin x = 4(cos^2)x - 3
2 sin x = 4(1-(sin^2)x) - 3
2 sin x = 4 - 4(sin^2)x - 3
4(sin^2)x + 2 sin x - 1 = 0
ให้ sinx = A (ผมชอบทำแบบนี้มากกว่า เพราะ
ผมชอบตาลาย เลยต้องกำหนดให้มันอ่านง่าย ๆ )
4A^2 + 2A - 1 = 0
A = [-2+sqrt(4 + 16)]/8
หรือ = [-2-sqrt(4 + 16)]/8
แต่ A = sin 18 เป็นค่าบวก เพราะฉะนั้น
A = [-2+sqrt(20)]/8
= [-2+2*sqrt(5)]/8
= (sqrt(5) - 1)/4
เพราะฉะนั้นผมขอตอบว่า
cos 72 = sin 18 = [sqrt(5) - 1]/4
ถูกรึเปล่าครับ พี่มังกร เข้ามาเฉลยด้วย
ครับ

[gon]

นั่นก็เป็นวิธีนึงครับ.
ซึ่งก็ถูกต้อง.ถ้าคิดเองก็เก่งมากครับ
แต่จริง ๆยังมีอีกหลายวิธีครับ.
อีก ราวๆ 3 - 4 วิธี แต่กลัวจะไม่มีคนคิดกัน
หรือไปปิดกั้นความคิด เลยบอกแค่รู้ว่ามี 2 วิธี.ครับ.

อยากทราบอีก 2 วิธีอะครับ

ขอรบกวนอีกนิดครับ แล้ว ค่า cos1 กับ sin1 องศาสามารถหาได้แบบ cos72 ไหมครับ โดยไม่ต้องกระายเป็นอนุกรมอะครับ

[tana]

ปอง ( xlover13 ) หายไปนานมาก คิดว่าไม่ได้เข้าเว็บนี้แล้วนะเนี่ย ปี 4 ใกล้จบแล้วใช่ป่ะครับ นี่ออฟ นะ ไม่รู้จำกันได้ป่าว ตั้งแต่ก่อนเข้าปี 1 แล้วน่ะ

[gon]

อ่า. 3 ปีผ่านไป เพิ่งมีคนอยากรู้ ตอนนี้นึกออกแค่วิธีสามเหลี่ยมนะครับ.
ถ้า A = 36ฐ แล้ว 5A = 180ฐ ฎ A + 2A + 2A = 180ฐ แสดงว่า มุม 36ฐ จะเป็นมุม ๆ หนึ่งในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ที่มี ขนาดมุมทั้งสามเป็น 36ฐ, 72ฐ, 72 ฐ ดังรูป
จากรูปให้ด้านตรงข้ามมุม A, B คือ a, b ตามลำดับ จากจุด B ลากส่วนของเส้นตรงเพื่อแบ่งครึ่งมุม ะABC ไปตัด AC ที่จุด D เราจะได้ว่า D DBC ป D ABC
เมื่อ BC = a ก็จะได้ว่า BD = AD = a ด้วย เพราะเป็น D หน้าจั่ว
และเมื่อ AC = b จึงได้ว่า DC = b - a

โดยสมบัติของสามเหลี่ยมคล้าย จึงได้ว่า a/b = (b - a)/a จัดรูปจะได้ว่า b² - ab - a² = 0
\ b = (-1 + ึ5)a/2 เท่านั้น และ จาก D ABC เมื่อลากส่วนของเส้นตรงจาก A มาตั้งฉากกับ BC ก็จะได้ว่า cos 72ฐ = a/2b = a/2[ (-1 + ึ5)a/2] = 1/(1 + ึ5) = (ึ5 - 1)/4

สำหรับค่าของ cos 1ฐ กับ sin 1ฐ รู้สึกว่าจะถามกันมาหลายครั้งแล้ว เดี๋ยวผมจะลองนั่งคิดจริง ๆ สักครั้งให้ แล้วจะมาเปิดเผยความลับสววรค์ให้ฟัง ถ้าออกอาจจะได้อะไรที่มันค่อนข้างประหลาด ๆ เดี๋ยวขอตัวไปคิดก่อนครับ.

อ้อ. ลืมไปค่าของ cos 72ฐ = sin 18ฐ ที่เคยคิดไว้ตอนนั้นรู้สึกว่าจะใช้ จำนวนเชิงซ้อน ขอไประลึกก่อนเช่นกัน

ขอบคุณล่วงหน้าครับ ท่านกร

[gon]

ตอนนี้โดยหลักการ ดูเหมือนว่าผมจะหาค่าของ cos 1ฐ กับ sin 1ฐ ได้แล้วครับ. โดยมือก็ได้มาถึง cos 3ฐ กับ sin 3ฐ แต่พอจะกระโดดลงไปที่ cos 1ฐ กับ sin 1ฐ ถ้าเล่นตรง ๆ ก็จะได้สมการกำลัง 3 ซึ่งจะเข้ากรณีลดทอนไม่ได้ หมายความว่า คำตอบทั้ง 3 ค่า ได้เป็นจำนวนจริงทั้งหมด แต่ไม่เท่ากันทั้ง 3 ค่าเลย แต่รูปของมันจะออกมาในแบบ (a + bi)^1/3 + (a - bi)^1/3 ซึ่งเข้าใจว่าตอนนี้ยังไม่มีวิธีการทั่วไปในการลดรูปออกมาถึง ถึงแม้ว่าจะรู้ว่าได้จำนวนจริงทั้ง 3 ค่าแน่ ๆ

ดังนั้นผมเลย ใช้ลูกเล่นนิดหน่อย ซึ่งก็จะได้สมการกำลัง 3 เช่นกัน แต่ในกรณีนี้จะเข้ากรณีที่ เป็นจำนวนจริงค่าเดียว อีก 2 ค่าที่เหลือเป็นจำนวนเชิงซ้อน (ถ้าคิดไม่ผิดนะ) ก็ยังไม่อยากจะแก้ตรง ๆ โดยมือ เลยใช้ Mathematica 5 จัดการ Solve ก่อน ปัญหาก็คือ ผมจิ้มเครื่องคิดเลขเท่าไร มันก็ไม่ตรงกับค่าที่ควรจะเป็นเลย (สังสัยคิดผิด)ตรวจสอบไปไม่ต่ำกว่า 20 รอบแล้ว ถ้าใช้เฉพาะเครื่องคิดเลขแก้ มันก็ตรง แต่พอใช้ Mathematica solve ดันไม่ตรง เป็นงง. เดี๋ยวต้องใช้ไม้ตายสุดท้ายคือ มือ !!!

ลุ้นสุดโก่ง รอด้วยความตื่นเต้น เหมือนเด็กน้อยรอของขวัญในวันเกิด ขอให้คิดได้ไวๆนะครับ ผมอยากรู้จนแทบนอนไม่หลับแล้วครับ ขอบคุณมากๆครับ ท่านกร

[gon]

น่าเสียดายมาก เพราะผมคิดเลขผิด สมการกำลัง 3 จากลูกเล่นแบบแรกที่ผมลอง ก็ยังคงเข้ากรณีลดทอนไม่ได้อยู่ดี รูปข้างล่าง นี่คือคำตอบของ cos 1ฐ จาก Mathematica

[gon]

ส่วนคำตอบจากมือที่เป็นคำตอบรวม คือ ดังรูป ไม่ว่าผมจะลองใช้เทคนิคเท่าทีมีอยู่ในการถอดรากที่สามของจำนวนเชิงซ้อนของแต่ละวงเล็บแบบใดก็ตาม สุดท้ายก็จะไปได้สมการกำลังสามที่เข้ากรณีลดทอนไม่ได้อย่างฉิวเฉียดทุกที ดังนั้นโดยความรู้ที่มีผมมีอยู่ตอนนี้จึงหาได้แค่ cos 3ฐ กับ sin 3ฐ เท่านั้น (อันนี้หมู)

[gon]

อย่างไรก็ดี ผมได้ลองประมาณค่าของ cos 1ฐ อย่างหยาบ ๆ (ไหน ๆ ก็ทำมาแล้ว) โดยเลขโดยตรง ก็จะได้ ว่า cos 1ฐ ป (1/2) [ 724 + 33.75(ึ3 + ึ15 + (10 - 2ึ5)^1/2) ] ^1/10 ซึ่งเมื่อลองจิ้มเครื่องคิดเลขดู จะพบว่าถูกเพียง 2 ตำแหน่งเท่านั้น เพราะใช้เอกลักษณ์ง่าย ๆ ในการประมาณ แต่ถ้าลองปรับแก้นิดหน่อยเป็น cos 1ฐ ป (1/2) [ 754 + 33.75(ึ3 + ึ15 + (10 - 2ึ5)^1/2) ] ^1/10 ก็จะถูกต้องถึง 4 ตำแหน่ง แต่นั่นก็ไม่มีประโยชน์อันใด เขียนให้ดูเล่น ๆ อีกอันก็เช่นกัน cos 1ฐ ป (1/2) [ 42035 + 2931(ึ3 + ึ15 + (10 - 2ึ5)^1/2 ) + 5( (150 - 30ึ5)^1/2 + (30 - 6ึ5)^1/2 - ึ45 - ึ5 ) ] ^1/16 ถูกต้องทศนิยมตำแหน่งที่ 5

ท่านกรช่วยกรุณาแสดง หลักการและวิธีคิดด้วยนะครับ ขอบคุณมากๆๆครับ ท่านกร คิดว่าคงยาวพอสมควร ขอบคุณครับผม

[gon]

ไม่มีอะไรมากครับ. เรารู้ค่าของ sin 18ฐ เราก็จะรู้ค่าของ cos 18ฐ จาก sin²q + cos²q = 1 จากนั้นเราก็จะรู้ค่าของ cos 36ฐ กับ sin 36ฐ จาก cos 2q = 2cos²q - 1 = 1 - 2sin²q แล้วก็จะหาค่าของ cos 6ฐ จากสูตรของ cos (A - B) เมื่อ A = 36ฐ, B = 30ฐ ค่าของ sin 6ฐ ก็ทำนองเดียวกัน พอได้มาเสร็จ เราก็จะได้ค่าของ cos 3ฐ กับ sin 3ฐ จากสูตรของ cos 2q เช่นกัน สุดท้ายจึงใช้สูตร cos 3q กับ sin 3q เพื่อหาค่าของ cos 1ฐ กับ sin 1ฐ ซึ่งจะเป็นสมการกำลังสาม ซึ่งผมลืมดูไป เพราะ ถ้าเราต้องการรู้ค่าของ cos q หรือ sin q จากสูตรของ cos 3q กับ sin 3q นี้ จะได้สมการกำลังสาม ซึ่งถูก force (บังคับ) ให้เข้ากรณีที่ลดทอนไม่ได้เสมอ (หรือกรณีเป็นจำนวนจริง 3 ค่า แต่เท่ากัน 2 ค่า และ เป็นครึ่งหนึ่งของอีกค่า เมื่อ r²/4 = q³/27) ( ดูสูตรสมการกำลังสามจาก บทความที่เพื่อนผม Top เขียนที่นี่http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra07/sermpra07p01.shtml)

ดังนั้น โดยหลักการค่าของ cos, sin ของมุมองศาที่เป็นจำนวนเต็ม 3 เท่า คือ 0ฐ, 3ฐ, 6ฐ , ... , 87ฐ, 90ฐ เราจะหาค่าจริง ๆ ออกมาได้หมดครับ.