โจทย์แคลคูลัส: Revisited

[nooonuii]

จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณซึ่งสอดคล้องอสมการ
x⁶-x²+y²ฃ0

[alongkorn]

p/2 รึปล่าว (ไม่ค่อยมั่นใจ)

[gon]

อืม. มันจะเกี่ยวกับการหาค่า Pi ด้วยหรือเปล่านี่ เดี๋ยวจะลองคิดดูก่อน

[nooonuii]

คุณ alongkorn คิดถูกแล้วครับ คิดไงครับ ถ้างั้นเอาข้อใหม่

จงหาสัมประสิทธิ์หน้าเทอม x¹² ในการกระจายอนุกรม maclaurin ของฟังก์ชัน 1/(1-3x+2x²)

[M@gpie]

แยกเศษส่วนย่อย
ให้ f(x)=1/(1-3x+2x2) =1/(1-2x)(1-x)= 1/(1-2x) - 1/[2(1-x)]
f'(x)=(2)/(1-2x)² -1/2(1-x)²
f''(x)=(2)(-2)(-2)/(1-2x)³ -2/(1-x)³
...
f⁽ⁿ⁾(x)=2ⁿ(n-1)!/(1-2x)ⁿ -(n-1)!/2(1-x)ⁿ
สัมประสิทธิ์หน้า x¹² คือ f⁽¹²⁾(0)=2¹²11! - 11!/2
ถูกป่าวอ่ะคับ

[nooonuii]

คำตอบของน้อง M@gpie ยังไม่ถูกครับ ตรงพจน์ทั่วไปของอนุพันธ์ยังไม่ใช่ครับ

[gon]

แบบ Recurrence :
สมมติให้ 1/(1 - 3x + 2x²) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ+ ...

\ 1 = (1 - 3x + 2x²)(a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ+ ...)

เทียบ ส.ป.ส ของ x⁰ : 1 = a₀
เทียบ ส.ป.ส ของ x¹ : a₁ - 3a₀ = 0 ฎ a₁ = 3
เทียบ ส.ป.ส ของ xⁿ : a_n - 3a_{n - 1} + 2a_{n - 2} = 0

แก้สมการ reuurence จะได้ a_n = 2^{n + 1} - 1 ฎ ส.ป.ส ของ x¹² คือ 2¹³ - 1

แบบ Generating Function :
แยกเศษส่วนย่อยจะได้ว่า 1/(1 - 3x + 2x²) = 2/(1 -2x) - 1/(1 - x) ฎ พจน์ทั่วไปของ xⁿ คือ 2(2x)ⁿ - xⁿ = (2^{n + 1} - 1)xⁿ ก็ได้เช่นกัน

แบบ Calculus, Taylor Series : จะได้ f⁽ⁿ⁾x = 2^{n + 1}n!(1 - 2x)^{-n - 1} - n!(1 - x)^{-n - 1}
\ fⁿ(0) = (2^{n + 1} - 1)n!
ฎ ส.ป.ส ของ xⁿ = fⁿ(0)/n! = 2^{n + 1} - 1

[M@gpie]

โอ มีวิธีแบบใช้ recurrence ด้วย เยี่ยมจิงๆ

[nooonuii]

วิธีคิดเยี่ยมครับ แต่คำตอบคลาดเคลื่อนนิดหน่อย
ผมกระจายแล้วได้ a_n=2^n-1 - 1 ครับ
เพราะฉะนั้นข้อนี้ตอบ 2¹¹ - 1 = 2047 ครับ

ที่มาของโจทย์ : ข้อสอบแข่งขัน Harvard-MIT Tournament

[gon]

โอ้. super big false !!! หรือนี่

[gon]

ลองใช้ Mathematica คำนวณดู มันได้แบบนี้ครับ.

[gon]

นึกสนุกขึ้นมาเลยลองเอาไปคิดต่อ จะได้ว่า
ln 2 = _{n = 1}S^ฅ (2ⁿ - 1) / n(3ⁿ)

[gon]

สนุกต่อไปจนถึง ln x สูตรนี้นี่น่าจะคำนวณด้วยมือได้ง่ายอยู่นะ

[nooonuii]

โอผมคิดผิดจริงๆด้วย แล้วไปดันไปตรงกับเฉลยของเขาอีกแน่ะ เวรกรรม

[gon]

คำถาม Noonuii ดีครับ. ทำให้มีเรื่องไปคิดต่อสนุก ๆ อีกเยอะเลย