ช่วยคิดหน่อยครับ

[ThirdkunG]

1.จงแสดงว่า \[ x^2 + y^2 = z^3 \] มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่จำกัดจำนวน


2.จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุด ที่ 13หาร x^2 +1 ลงตัว
คำตอบคือ 5 ขอวิธีคิดแบบไม่สุ่มนะงับ

ขอบคุณมากครับ ผมเด็กใหม่ฝากตัวด้วยนะครับ....

[Mathophile]

ข้อ 1. ลองคูณทั้งสมการด้วย $k^6$ ดูครับ (k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ)

ข้อ 2.
เนื่องจาก $13\mid x^2+1$ และ $13\mid 26$
เพราะฉะนั้น $13\mid (x^2+1)-26=(x+5)(x-5)$
และเพราะว่า 13 เป็นจำนวนเฉพาะ
จึงได้ว่า $13\mid x+5$ หรือ $13\mid x-5$
ดูว่าแต่ละกรณี ได้ค่า x น้อยสุดเท่าไหร่ ซึ่งจะสรุปตอนท้ายได้ว่า x ที่น้อยที่สุดคือ 5 ครับ

[ThirdkunG]

ขอบคุณมากครับ Mathophile แต่ข้อ 1 ไม่เข้าใจอยู่ดี ช่วยเฉลยให้หน่อยได้ไหมงับ ขอบคุณมากครับ

[Mathophile]

ข้อ 1. ครับ
จาก $x^2+y^2=z^3$
คูณทั้งสมการด้วย $k^6$ ($k$ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ) จะได้ว่า
$k^6x^2+k^6y^2=k^6z^3$
$(k^3x)^2+(k^3y)^2=(k^2z)^3$
นั่นคือ ถ้า $(x,y,z)$ เป็นคำตอบแล้ว $(k^3x,k^3y,k^2z)$ จะเป็นคำตอบด้วย
และเราพบว่า สมการดังกล่าวมีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบ (ลองหาดูครับ)
ดังนั้น สมการดังกล่าวจึงมีคำตอบไม่จำกัดจำนวนครับ

[ThirdkunG]

เข้าใจแล้วงับ
ขอบคุณมากครับคุณ Mathophile

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ThirdkunG

1.จงแสดงว่า \[ x^2 + y^2 = z^3 \] มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่จำกัดจำนวน

parametric solution อันหนึ่งของข้อนี้คือ $$ (a^3-3ab^2)^2 + (3a^2b-b^3)^2 = (a^2+b^2)^3 $$ ซึ่งเป็นคำตอบอันที่นิยมใช้ตอบโจทย์ข้อนี้กันครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

ข้อ 1. ครับ
จาก $x^2+y^2=z^3$
คูณทั้งสมการด้วย $k^6$ ($k$ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ) จะได้ว่า
$k^6x^2+k^6y^2=k^6z^3$
$(k^3x)^2+(k^3y)^2=(k^2z)^3$
นั่นคือ ถ้า $(x,y,z)$ เป็นคำตอบแล้ว $(k^3x,k^3y,k^2z)$ จะเป็นคำตอบด้วย
และเราพบว่า สมการดังกล่าวมีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบ (ลองหาดูครับ)
ดังนั้น สมการดังกล่าวจึงมีคำตอบไม่จำกัดจำนวนครับ

คำตอบของคุณ Mathophile เป็นแบบที่น่าสนใจมากครับ ผมยังไม่เคยเห็นใครตอบแบบนี้เลย

เราสามารถเลี่ยงในส่วน trial & error ได้โดยเลือก $a,b\in\mathbb N$ มา แล้วให้ $c=a^2+b^2$ เสร็จแล้วเอา $c^2$ คูณตลอดครับ

เทคนิคแนวๆนี้นี่แหละที่สามารถนำไปแก้ โจทย์ข้อ 116. ของผมในกระทู้ True - False Marathon ได้

ป.ล. คุณ Mathophile เป็นเด็กโอฯ รึเปล่าครับ

[ThirdkunG]

ขอบคุงมากๆนะงับ พี่ warut thkk makk

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

$$(a^3-3ab^2)^2 + (3a^2b-b^3)^2 = (a^2+b^2)^3$$

เป็นเอกลักษณ์ที่น่าสนใจมากเลยครับ รู้สึกเอกลักษณ์นี้จะถูกใช้ใน TMO ครั้งที่ 1 ใช่หรือเปล่าครับ (เห็นคุณ Warut ใช้น่ะครับ)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

เราสามารถเลี่ยงในส่วน trial & error ได้โดยเลือก $a,b\in\mathbb N$ มา แล้วให้ $c=a^2+b^2$ เสร็จแล้วเอา $c^2$ คูณตลอดครับ

วิธีนี้ก็น่าสนใจมากเลยครับ กระชับกว่าวิธีของผมด้วย เพราะวิธีของผมต้องมาเช็คอีกว่ามีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบหรือเปล่า

ปล. ผมก็เป็นเด็กโอฯ นะครับ แต่ยังเป็นเด็กโอฯ สอวน. น่ะครับ เดี๋ยวก็ต้องไปสอบที่ รร.เตรียมทหาร เหมือนหลาย ๆ คนในบอร์ดนี้น่ะครับ

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

รู้สึกเอกลักษณ์นี้จะถูกใช้ใน TMO ครั้งที่ 1 ใช่หรือเปล่าครับ (เห็นคุณ Warut ใช้น่ะครับ)

โห...จำได้ด้วย ใช่แล้วครับ ผมรู้จักเอกลักษณ์นี้ก็เพราะข้อสอบอันนั้นนั่นแหละ

ผมคิดว่าคุณ Mathophile มีศักยภาพอยู่ในตัวไม่น้อยนะครับ ถ้ามีเวลาพอ (ไม่แน่ใจว่าอยู่ ม. ไหนแล้ว) เชื่อว่าน่าจะพัฒนาฝีมือ ในการทำข้อสอบโอลิมปิกไปได้อีกไกล...