จำนวนเชิงซ้อน มอ. 55

[Mathematicism]

ผมได้ k=4
เฉลย 2รูท3

[nooonuii]

ทำไมถึงได้ $k=4$ ครับ

[Mathematicism]

ถูกผิดโปรดชี้แนะครับ

[nooonuii]

ขอถามต่อว่าทำไมเฉลยได้ $2\sqrt{3}$ ครับ

ผมได้เท่ากับ $4$ เหมือนกันครับ

[gon]

มันมีค่าเป็น $2\sqrt{3}$ เมื่อ $z$ อยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมจุด $(0, 1)$ กับ $(2\sqrt{3}, 1)$ บนระนาบเชิงซ้อนไงครับ. เช่น $z = 1+i$

[Mathematicism]

เฉลย คิดแบบที่คุณ gon ว่าครับ คือ z อยู่บนเส้นเชื่อม (0,1) กับ (2รูท3,1) แต่เงื่อนไขในโจทย์ Z ต้องเป็นจำนวนจริง
แต่ ทุก Z ที่อยู่บนเส้นเชื่อม เป็นจำนวนเชิงซ้อนครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathematicism

เฉลย คิดแบบที่คุณ gon ว่าครับ คือ z อยู่บนเส้นเชื่อม (0,1) กับ (2รูท3,1) แต่เงื่อนไขในโจทย์ Z ต้องเป็นจำนวนจริง
แต่ ทุก Z ที่อยู่บนเส้นเชื่อม เป็นจำนวนเชิงซ้อนครับ

จริงด้วยครับ ผมอ่านโจทย์ไม่รอบคอบเอง

[nooonuii]

ทำต่อจาก #3 โดยอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{(2\sqrt{3}-a)^2+1}\geq\sqrt{(a+2\sqrt{3}-a)^2+(1+1)^2}=4$

[Mathematicism]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ทำต่อจาก #3 โดยอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{(2\sqrt{3}-a)^2+1}\geq\sqrt{(a+2\sqrt{3}-a)^2+(1+1)^2}=4$

ผมลองทำวิธีนี้แล้ว แต่ไม่ได้สลับ $a-2\sqrt{3}$ให้เป็น $2\sqrt{3}-a$ ทำให้ได้ค่าต่ำสุดออกมาเป็น 2
อยากทราบว่าเรามีวิธีดูยังไงครับว่าควรสลับหรือไม่ต้องสลับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathematicism

ผมลองทำวิธีนี้แล้ว แต่ไม่ได้สลับ $a-2\sqrt{3}$ให้เป็น $2\sqrt{3}-a$ ทำให้ได้ค่าต่ำสุดออกมาเป็น 2
อยากทราบว่าเรามีวิธีดูยังไงครับว่าควรสลับหรือไม่ต้องสลับ

พยายามทำให้ได้เป็นตัวเลขออกมาอย่างเดียวครับ ถ้าทำได้นะ บางอันก็ไม่ได้ครับ

[gon]

วิธีมองนั้นพอมีอยู่ครับ โดยพิจารณาจากกราฟที่มาของอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ จุดทั้งหลายจะต้องเรียงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และเมื่อเรียงเป็นเส้นตรงเดียวกันแล้วจะได้ว่าความชันของเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งหมด จะต้องเท่ากัน

อย่างข้อนี้ถ้าหาค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{(x-2\sqrt{3})^2+1}$

ตอนแรกจะสมมติให้จุด A มีพิกัดเป็น (0, 0)

เพื่อให้ AB ยาว $\sqrt{x^2+1}$ เราสามารถสมมติให้จุด B มีพิกัดได้หลายแบบ

เช่นให้ B เป็น $(x, 1)$ หรือ $(1, x)$ ก็ได้ (หรือจะเป็น $(x, -1), (-x, -1)$ ฯลฯ)

เพื่อให้ BC ยาว $\sqrt{(x-2\sqrt{3})^2+1}$

ถ้า B คือ $(x, 1)$ และเลือก C คือ $(2\sqrt{3}, 0)$ จะเห็นว่าจุด A, B, C ไม่มีทางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันแน่นอน

ถ้า B คือ $(x, 1)$ และเลือก C คือ $(2\sqrt{3}, 2)$ แบบนี้จะเป็นไปได้ว่า A, B, C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งจะเกิดเมื่อ $\frac{1}{x} = \frac{2}{2\sqrt{3}}$

ถ้าสนใจลองคิดดูครับ ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{4+y^2} + \sqrt{x^2+y^2-4x-4y+8} + \sqrt{x^2-8x+17}$ เมื่อ $x, y$ เป็นจำนวนจริง คืออะไรและเกิดเมื่อ $x, y$ มีค่าเป็นเท่าใด

[กิตติ]

ตกลงว่าข้อนี้ตอบ k=4 ใช่ไหมครับ
พอดีผมแปลงที่โจทย์ถามว่าเป็นสมการวงรี ที่มีระยะโฟกัสคือ $\sqrt{3} $ แล้วใช้ความสัมพันธ์ของค่าแกนเอกแกนโท
$c^2=a^2-b^2$
$a^2=b^2+3$
จากนิยามวงรีจะได้ $k=2a$
k มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a มีค่าน้อยที่สุด และ a มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ bมีค่าน้อยที่สุด
b ที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการมีคำตอบเป็นจำนวนจริง คือกราฟวงรีสัมผัสแกน x พอดี
จะได้ b=1
ดังนั้น $a^2=4 \rightarrow a=2$
จะได้ $k=4$