Random variables & Density Function

[t.B.]

ขอ edit นะครับ เขียนไม่รู้เรื่อง(ตัวเองอ่านยังงง 55+) แต่ก็รู้เหตุผลข้อที่ใช้วิธีผิดหมดแล้ว

[nooonuii]

ทำตามวิธีแรกปลอดภัยสุดครับ เล่นตามกติกาทุกอย่างไม่มีตุกติก

แต่ถ้าอยากรู้ว่า $f_X(x)$ หน้าตาเป็นยังไงให้ทำแบบนี้

สมมติว่า $a>0$ ถ้า $a<0$ ก็ทำได้ทำนองเดียวกันแต่อสมการกลับข้างนิดหน่อย

เนื่องจาก $X,Y$ เป็น continuous random variables เราจะได้ว่า

$P(X<x)=\int_{-\infty}^xf_X(t)\,dt$

โดยทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลัส เราจะได้ว่า

$f_X(x)=\dfrac{d}{dx}P(X<x)$

แต่

$P(X<x)=P(aY+b<x)$

$~~~~~~~~~~~~=P(Y<\frac{x-b}{a})$

$~~~~~~~~~~~~=\int_{-\infty}^{\frac{x-b}{a}}f_Y(y)\,dy$

เราจึงได้

$f_X(x)=\dfrac{d}{dx}P(X<x)$

$~~~~~~~=\dfrac{d}{dx}\int_{-\infty}^{\frac{x-b}{a}}f_Y(y)\,dy$

$~~~~~~~=\dfrac{1}{a}f_Y(\dfrac{x-b}{a})$ โดยทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลัส

ป.ล. $f_y$ ที่ให้มาไม่เป็น density function นี่ครับ

[t.B.]

thank you ครับคุณ nooonuii

วันนี้ผมรู้แล้วครับ มี Transformation ในการหา $f_{Y} $ ของ Y=g(X) โดยที่รู้ $f_{X}$

1. CDF Method (แบบที่คุณ nooonuii แสดงหา CDF แล้วดิฟเพื่อหา PDF)

2. Jacobian Method (หาได้ n ตัวแปร)