Algebra

[BLACK-Dragon]

จงแก้ระบบสมการ

$x+y+z=1$

$x^3+y^3+z^3=1$

$x^4+y^4+z^4=1$

(จากคุณ nooonuii)

[Ulqiorra Sillfer]

ตอนแกผมคิดซะเยอะเลย เขียนๆปเขียนมึนหัวซะงั้น พอมาลองคิดดูอีกทีนะ
ถ้ากำหนดสองตัวใน x y และ z เป็น 0 เสีย 2 ตัว
อีกตัวนึงเป็น 1 พอแทนค่าจะได้ ตรงกับระบบสมการนี้พอดี
ดังนั้น เลือก 2 จาก 3 ได้ =3 วิธี
ทำให้สมการนี้มีคำตอบเป็นสามวิธี คือ x=0 y=0 z=1
x=1 y=0 z=0
x=0 y=1 z=0
ถ้่าใครมีวิธีอย่างอื่นโพสบ้างก็ดีนะ ผมยังอึนๆอยู่เลยขอ้นี้

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ulqiorra Sillfer

ตอนแกผมคิดซะเยอะเลย เขียนๆปเขียนมึนหัวซะงั้น พอมาลองคิดดูอีกทีนะ
ถ้ากำหนดสองตัวใน x y และ z เป็น 0 เสีย 2 ตัว
อีกตัวนึงเป็น 1 พอแทนค่าจะได้ ตรงกับระบบสมการนี้พอดี
ดังนั้น เลือก 2 จาก 3 ได้ =3 วิธี
ทำให้สมการนี้มีคำตอบเป็นสามวิธี คือ x=0 y=0 z=1
x=1 y=0 z=0
x=0 y=1 z=0
ถ้่าใครมีวิธีอย่างอื่นโพสบ้างก็ดีนะ ผมยังอึนๆอยู่เลยขอ้นี้

แล้วรู้ได้อย่างไรครับว่ามีคำตอบแค่นี้

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

แล้วรู้ได้อย่างไรครับว่ามีคำตอบแค่นี้

ผมก็ถึงได้บอกเลยไงครับ ง่ายังงงๆอยู่เหมือนกัน

[~ArT_Ty~]

ทำได้แล้วครับ

ผมทำอย่างนี้

ให้ $xy+yz+xz=m$

จะได้ว่า

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2m$

$\therefore x^2+y^2+z^2=1-2m$

นำสมการ 1 คูณ จะได้

$x^3+y^3+z^3+xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)=1-2m$

$1+m-3xyz=1-2m$

$\therefore xyz=m$

$\therefore x,y,z$ จะเป็นรากของสมการ $a^3-a^2+am-m=0$

$(a^2+m)(a-1)=0$

ดังนั้นจะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ 1 และจะทำให้ตัวอื่นๆเท่ากับ 0

$\therefore (x,y,z)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ทำได้แล้วครับ

ผมทำอย่างนี้

ให้ $xy+yz+xz=m$

จะได้ว่า

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2m$

$\therefore x^2+y^2+z^2=1-2m$

นำสมการ 1 คูณ จะได้

$x^3+y^3+z^3+xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)=1-2m$

$1+m-3xyz=1-2m$

$\therefore xyz=m$

$\therefore x,y,z$ จะเป็นรากของสมการ $a^3-a^2+am-m=0$

$(a^2+m)(a-1)=0$

ดังนั้นจะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ 1 และจะทำให้ตัวอื่นๆเท่ากับ 0

$\therefore (x,y,z)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$

แสดงว่าของผมก็ถูกด้วยล่ะสิเนี่ 5555
แต่วิธีคนละชั้นกันเลย เทพมากครับพี่

[~ArT_Ty~]

จริงๆวิธีของน้องก็ถือว่าใช้ได้ในระดับหนึ่ง

แต่ก็ต้องสามารถหาได้ว่านอกจากนี้มันมีตัวอื่นอีกมั้ยอ่ะครับ

[BLACK-Dragon]

จงแยกตัวประกอบของ $(x+1)(y+1)(z+1)+(x+y)(y+z)(z+x)$

hint

สมมุติตัวแปร $S_1=x+y+z,S_2=xy+yz+xz,S_3=xyz$

solution

$(x+1)(y+1)(z+1)+(x+y)(y+z)(z+x)=S_3+S_2+S_1+1+(S_1-x)(S_1-y)(S_1-z)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=S_3+S_2+S_1+1+{S_1}^3-(S_1){S_1}^2+(S_1)(S_2)-S_3$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=S_3+S_2+S_1+1+{S_1}^3-{S_1}^3+(S_1)(S_2)-S)-S_3$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=S_2+S_1+1+S_1S_2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(S_1+1)(S_2+1)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(x+y+z+1)(xy+yz+xz+1)$

จริงๆข้อแรกผมใช้คล้ายแบบนี้อ่ะครับ

จงแยกตัวประกอบ $x^5-x^4-1$

hint

$x^5-x^3-1=(x^5-x^4+x^3)-(x^3+1)$

จงแก้สมการ$\sqrt[3]{234-x}+\sqrt[3]{234+x}=12$

hint

$a=\sqrt[3]{234-x},b=\sqrt[3]{234+x}$

ans

$x=\pm109$

จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=27$
$x+y+z=3$

hint

$z=3-x-y$,$A^2+B^2=0$ ใช้ได้

ปล.โจทย์ทั้งหมดมาจากคุณ nooonuii

[{([?])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=27$
$x+y+z=3$

hint

$z=3-x-y$,$A^2+B^2=0$ ใช้ได้

ปล.โจทย์ทั้งหมดมาจากคุณ nooonuii

ผมได้ $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 0$
ไม่รู้จะถูกไหมนะครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=27$
$x+y+z=3$

ให้ $a=x+1,b=y+2,c=z+3$

จะได้ $a^2+b^2+c^2=27$

$~~~~~~~~~a+b+c=9$

$\therefore ~~ab+bc+ac=27$

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$

$\therefore a=b=c$

ทำให้ $(x,y,z)=(2,1,0)$

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

$x^5-x^4-1 = (x^5-x^4+x^3)-(x^3-x^2+1)-(x^2-x+1)$
$~~~~~~~~~~$ =$x^3(x^2-x+1) - x(x^2-x+1) -(x^2-x+1) $
$~~~~~~~~~~$ = $(x^3-x-1)(x^2-x-1)$

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

จงแก้สมการ$\sqrt[3]{234-x}+\sqrt[3]{234+x}=12$
$a=\sqrt[3]{234-x},b=\sqrt[3]{234+x}$

asn

$x=109$

เเน่ใจเหรอครับว่ามี $x$ ค่าเดียว

[Amankris]

@#11
พิมพ์ผิดนิดหน่อยนะครับ

[BLACK-Dragon]

#12

บวกลบน่ะครับ ขอบคุณครับที่ช่วยตรวจ

ส่วนข้อ

จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=27$
$+y+z=3$

ข้อนี้ผมแทน $z=3-x-y$ จัดรูปใหม่

$x^2+y^2+xy-4y-5x+7=0$

$[x+\frac{(y-5)}{2}]^2-\frac{y^2-10y+25}{4}+y^2-4y+7=0$

$[x+\frac{(y-5)}{2}]^2+\frac{4y^2-16y+28-y^2+10y-25}{4}=0$

$[x+\frac{(y-5)}{2}]^2+\frac{3}{4}[(y-1)^2]=0$

ได้ $y=1,x=2,z=0$

$(x,y,z)=(2,1,0)$

[~ArT_Ty~]

เถื่อนดีครับน้อง BLACK-Dragon