ถามโจทย์ใน AVAISO ครับ

[CmKaN]

ขอวิธีทำด้วยน่ะครับ ขอบคุณครับ
1.หาเซตคำตอบของ$\frac{|x^{2}+2x-2|}{\sqrt{x^{2}+2x-2\sqrt{3}x+4-2\sqrt{3}}} \leq {\sqrt{3}}$
2.ให้ $f:{Z}\rightarrow{Z}$ซึ่งสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้
$(1)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ทุก x,y เป็นสมาชอกของZ
$(2)$ $f๐f(1) \leq{100}$
จำนวนfunction f ที่มีสมบัติทั้งสองข้างต้นมีทั้งหมดกี่ฟังชั่นที่เป็นไปได้

ปล.เด๋วมีปัญหาค่อยถามใหม่น่ะครับ

[thee]

ข้อ 2.1 นะครับ
พิสูจน์จากกรณี $f:N \to N$
แทนค่า $y = 1$ ลงสมการจะได้
$f(x + 1) = f(x) + f(1)$
$f(x + 1) - f(x) = f(1)$
แทน x = 1,2,...,n
$f(2) - f(1) = f(1)$
$f(3) - f(2) = f(1)$
$ \vdots $
$f(n) - f(n - 1) = f(1)$
นำมาบวกกันทั้งหมดจะได้
$f(n) - f(1) = (n - 1)f(1)$
$f(n) = nf(1)$

[CmKaN]

พี่threeครับข้อสองมันเป็นข้อเดียวครับ แต่แยกเป็นสองสมบัติอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

2.ให้ $f:{Z}\rightarrow{Z}$ซึ่งสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้
$(1)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ทุก x,y เป็นสมาชอกของZ
$(2)$ $f๐f(1) \leq{100}$
จำนวนfunction f ที่มีสมบัติทั้งสองข้างต้นมีทั้งหมดกี่ฟังชั่นที่เป็นไปได้

แทนค่า $x=y=0$ จะได้ $f(0)=0$
แทนค่า $x=y=1$ จะได้ $f(2)=2f(1)$
.
.
.
โดย induction จะได้ $f(n)=nf(1)$ ทุกค่า $n\geq 1$

แทนค่า $x=1,y=-1$ จะได้ $0=f(0) = f(1)+f(-1) \Rightarrow f(-1)=-f(1)$
โดย induction เราจะได้ว่า $f(-n)=-nf(1)$ ทุกค่า $n\geq 1$
ดังนั้นเราได้ว่า $f(n)=nf(1)$ ทุกค่า $n\in\mathbb{Z}$
ให้ $a=f(1)$ เราจะได้ว่า $f\circ f(1)=f(a)=af(1)=a^2$
ดังนั้นเราได้ $a^2\leq 100 \Rightarrow |a|\leq 10$
จึงมีค่า $a$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด $21$ ค่า
เนื่องจากจำนวนฟังก์ชัน $f$ ขึ้นอยู่กับค่า $a=f(1)$ เราจึงได้ว่ามีฟังก์ชัน $f$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด $21$ ฟังก์ชัน

[M@gpie]

ข้อแรก ก่อนอื่นสังเกตว่า\[ x^2+2x-2\sqrt{3}x+4-2\sqrt{3} = x^2+2(1-\sqrt{3})x+(1-\sqrt{3})^2= (x+1-\sqrt{3})^2\]
จะได้ว่า \[ \frac{|x^2+2x-2|}{\sqrt{(x+1-\sqrt{3})^2}} \leq \sqrt{3}\]
หรือ \[ |x^2+2x-2| \leq \sqrt{3}\cdot |x+1-\sqrt{3}|, \; \; x\neq -1+\sqrt{3}\]
จากนั้นยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วก็แก้อสมการตามปกติได้เลยครับ

[CmKaN]

ขอบคุณพี่ๆทุกคนครับ
ส่วนข้อหนึ่งคิดได้แล้วครับแต่พอกำลังสองแยกตัวประกอบไม่ออก

[jabza]

เอ่อขอทำข้อแรกต่อจากพี่M@gpie

$\frac{(l x^2 + 2x -2 l )}{(l x + 1 - \sqrt{3}l)}$ _<(หมายถึงน้อยกว่าหรือเท่ากับ) $\sqrt{3}$

[$\frac{x^2+2x-2}{x+1-\sqrt{3}}] +\sqrt{3} * [\frac{x^2+2x-2}{x+1 -\sqrt{3}}] -\sqrt{3} _< 0$
ที่เหลือก็แก้สมการตอบนะครับ ตอบ [$ -1-2\sqrt{3} , -1$ ]

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

เอ่อขอทำข้อแรกต่อจากพี่M@gpie

$\frac{(l x^2 + 2x -2 l )}{(l x + 1 - \sqrt{3}l)}$ _<(หมายถึงมากกว่าหรือเท่ากับ) $\sqrt{3}$

[$\frac{x^2+2x-2}{x+1-\sqrt{3}}] +\sqrt{3} * [\frac{x^2+2x-2}{x+1 -\sqrt{3}}] -\sqrt{3} _< 0$
ที่เหลือก็แก้สมการตอบนะครับ ตอบ [$ -1-2\sqrt{3} , -1$ ]

ข้อแรกเป็นโจทย์สมาคมคณิตศาสตร์ปี 29 (หลายคนยังไม่เกิดเลย )

ข้อสอง ถ้าจำไม่ผิดเป็นโจทย์คัดโอลิมปิกของบ้านเรา น่าจะสัก 10 กว่าปีก่อน

ข้อนี้รู้สึกว่า Jazza จะทำถูกนะ