ข้อสอบ IWYMIC 2008

[math ninja]

ประเภทบุคคล http://www.taimc2012.org/problem/200...Individual.pdf
ประเภททีม http://www.taimc2012.org/problem/2008-IWYMIC-Team.pdf

[Suwiwat B]

ข้อ 1 ประเภทบุคคล section B นะครับ

[Suwiwat B]

ข้อ 2,3,4,9 นะครับ

[Suwiwat B]

มาต่อข้อ 1,5,7 นะครับ

[banker]

[banker]

[banker]

[banker]

Answer 34

[banker]

$\frac{CE}{1} = tan60^\circ = \sqrt{3} \ \to \ CB = 2\sqrt{3} $

$\frac{CF}{CB} = sin60^\circ = \frac{\sqrt{3} }{2} \ \to \ CF = 3 = BD$

$\frac{FB}{CB} = cos60^\circ = \frac{1}{2} \ \to \ FB = \sqrt{3} \ \to \ AB = 2\sqrt{3} $

$AD^2 = AB^2 + BD^2 = (2\sqrt{3} )^2+(3)^2 = 21$

$AD = \sqrt{21} $

[banker]

$\frac{p}{q}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งเมื่อทอนเป็นทศนิยมแล้วจะมีรูปแบบเป็น 0.abababab...
ซึ่ง a และ b อาจเหมือนกันก็ได้ แต่ถ้าเหมือนกัน จะไม่เป็น 0 ทั้่งคู่
จงหาค่าต่างๆของ p

1/3
2/3
1/9
2/9
4/9
5/9
7/9
8/9

p = 1, 2, 4, 5, 7, 8

[banker]

เลข 5 หลักที่มีเลขโดด 3 อย่างน้อย 1 ตัว มีกี่จำนวน

เลข 5 หลักมีทั้งหมด 9x10x10x10x10 = 90,000 จำนวน

เลข 5 หลักที่ไม่มีเลข 3 เลย มี 8x9x9x9x9 = 52,488 จำนวน

ดังนั้นเลข 5 หลักที่มีเลข 3 อย่างน้อย 1 ตัว มี 90,000 - 52,488 = 37,512 จำนวน

[banker]

A-B-C-D เป็นส่วนของเส้นตรงที่ขนานกับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และแบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า
E เป็นจุดบนเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งทำให้ AE แบ่งครึ่งพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเช่นกัน
ถ้า AB=30, BC=24 และ CD=10 แล้ว DE ยาวเท่าไร


จากรูป จะได้ว่า พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู CDEF = พื้นที่สามเหลี่ยม ABF



โดยสามเหลี่ยมคล้าย
$\frac{y}{24-x} = \frac{3}{4}$...(1)

พื้นที่สามเหลี่ยม ABF = พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู CDEF
$\frac{1}{2} \cdot y \cdot 30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (x+24-y)$...(2)

จาก (1),(2) จะได้ x = 12

[banker]

กระจกแนวตั้งสองบานทำมุมกัน 30 องศา แสงจากจุดกำเนิด s ส่องขนานกับ กระจก WV
ตกกระทบกระจก UV ที่จุด A แล้วสะท้อนตกกระจก WV ที่จุด B แล้วสะท้อนอีกทีไปที่กระจก UV ที่จุด C
จากนั้นก็สะท้อนกลับไปที่จุดกำเนิดแสง S ถ้า SA = AV = 1
แล้วระยะทางทั้งหมดที่แสงเดินทางเท่ากับเท่าไร

โดยกฏมุมตกเท่ากับมุมสะท้อนจะได้มุมดังภาพ


AB = BV (สามเหลี่ยมหน้าจั่ว)
DB = BC (สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ)
จะได้ AB + BC = BV+BD = DV

DV = cos$60^\circ = \frac{\sqrt{3} }{2}$

ดังนั้นขามาเท่ากับ $1 + \frac{\sqrt{3} }{2} \ $ และขากลับ เท่ากับ $ \ 1 + \frac{\sqrt{3} }{2}$
(After that, it goes back to S)

รวม $2 + \sqrt{3}$

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$\frac{p}{q}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งเมื่อทอนเป็นทศนิยมแล้วจะมีรูปแบบเป็น 0.abababab...
ซึ่ง a และ b อาจเหมือนกันก็ได้ แต่ถ้าเหมือนกัน จะไม่เป็น 0 ทั้่งคู่
จงหาค่าต่างๆของ p

1/3
2/3
1/9
2/9
4/9
5/9
7/9
8/9

p = 1, 2, 4, 5, 7, 8

ขออนุญาตแย้งคุณลุงนะครับ คือโจทย์ข้อนี้ต้องการทราบจำนวน p ทั้งหมดมีกี่ตัว (p=จำนวนเต็ม) ซึ่ง p ไม่ซ้ำกัน
p ตัวนี้เกิดจากการทำให้ $\frac{p}{q}$ =0.abababab...... เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
วิธีทำมี 4 ขั้นตอน ดังนี้ (เวลาสอบแข่งขันต้องแสดงวิธีทำ พอสังเขป)
ขั้นตอนที่ 1
$\frac{p}{q}$ =0.abababab...... (1)
100$\frac{p}{q}$ =ab.abababab...... (2)
(2)-(1) $\frac{p}{q}$ =$\frac{ab}{99}$.............. (3)
ดังนั้น ab มีค่าเป็นไปได้ทั้งหมด 99 ตัว เมื่อส่วนเป็น 99 ( 5 คะแนน)

ขั้นตอนที่ 2
set ของสมการ (3) $\frac{p}{q}$={ $\frac{1}{99}$, $\frac{2}{99}$, $\frac{3}{99}$, $\frac{4}{99}$,$\frac{5}{99}$,$\frac{6}{99}$,$\frac{7}{99}$,$\frac{8}{99}$,$\frac{9}{99}$,$\frac{10}{99}$,...,$\frac{27}{99}$,.. ...,$\frac{54}{99}$,.....,$\frac{81}{99}$,......., $\frac{98}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ......(4)
แต่ 99 = 3x3x11
แสดงว่า $\frac{p}{q}$ สามารถทำเป็นเศษส่วนจากพหูนามของ 3 , 11 และ 33 ดังนี้
พหุนามของ 3 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{3}{99}$, $\frac{6}{99}$, $\frac{9}{99}$, $\frac{12}{99}$,$\frac{15}{99}$,$\frac{18}{99}$,$\frac{21}{99}$,......., $\frac{96}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 33 ตัว .......(5)
พหุนามของ 11 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{11}{99}$, $\frac{22}{99}$, $\frac{33}{99}$, $\frac{44}{99}$,$\frac{55}{99}$,$\frac{66}{99}$,$\frac{77}{99}$,$\frac{88}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 9 ตัว ......(6)
พหุนามของ 33 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{33}{99}$, $\frac{66}{99}$, $\frac{99}{99}$} ทั้งหมด 3 ตัว ......(7)
(5),(6) และ (7) สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ 33+9-3 =39 ตัว (บางตัวซ้ำกัน)
ดังนั้น จึงเหลือ $\frac{p}{q}$=99-39 = 60 ตัว ( 10 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 3
จาก (4) สังเกตุ ค่า p ที่เหลือ จากการตัดพหุคูณของ 3 ,11 และ 33 ออกไปแล้ว ปรากฏว่า
p={1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26,...........,98} ทั้งหมด 60 ตัวจากขั้นตอนที่ 2 .........(8)

เมื่อทำ (5),(6) และ (7) เมื่อทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้วพบว่า
เศษส่วนบางตัว ทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว ทำให้ p มีค่าซ้ำกัน กับที่มีใน (8) (จึงตัดทิ้งได้)
แต่มีพหุคูณของ 27 คือ {$\frac{27}{99}$,$\frac{54}{99}$,$\frac{81}{99}$ } ได้
={$\frac{3}{11}$,$\frac{6}{11}$,$\frac{9}{11}$ }
ซึ่งทั้ง 3,6 และ 9 ไม่มีใน (8) ( 20 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 4

ดังนั้น P ทั้งหมดที่ไม่ซ้ำกันจึงมี =60+3 = 63 ตัว ( 5 คะแนน) ตอบ
Answer oly , 10 คะแนน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ทิดมี สึกใหม่

ขออนุญาตแย้งคุณลุงนะครับ คือโจทย์ข้อนี้ต้องการทราบจำนวน p ทั้งหมดมีกี่ตัว (p=จำนวนเต็ม) ซึ่ง p ไม่ซ้ำกัน
p ตัวนี้เกิดจากการทำให้ $\frac{p}{q}$ =0.abababab...... เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
วิธีทำมี 4 ขั้นตอน ดังนี้ (เวลาสอบแข่งขันต้องแสดงวิธีทำ พอสังเขป)
ขั้นตอนที่ 1
$\frac{p}{q}$ =0.abababab...... (1)
100$\frac{p}{q}$ =ab.abababab...... (2)
(2)-(1) $\frac{p}{q}$ =$\frac{ab}{99}$.............. (3)
ดังนั้น ab มีค่าเป็นไปได้ทั้งหมด 99 ตัว เมื่อส่วนเป็น 99 ( 5 คะแนน)

ขั้นตอนที่ 2
set ของสมการ (3) $\frac{p}{q}$={ $\frac{1}{99}$, $\frac{2}{99}$, $\frac{3}{99}$, $\frac{4}{99}$,$\frac{5}{99}$,$\frac{6}{99}$,$\frac{7}{99}$,$\frac{8}{99}$,$\frac{9}{99}$,$\frac{10}{99}$,...,$\frac{27}{99}$,.. ...,$\frac{54}{99}$,.....,$\frac{81}{99}$,......., $\frac{98}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ......(4)
แต่ 99 = 3x3x11
แสดงว่า $\frac{p}{q}$ สามารถทำเป็นเศษส่วนจากพหูนามของ 3 , 11 และ 33 ดังนี้
พหุนามของ 3 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{3}{99}$, $\frac{6}{99}$, $\frac{9}{99}$, $\frac{12}{99}$,$\frac{15}{99}$,$\frac{18}{99}$,$\frac{21}{99}$,......., $\frac{96}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 33 ตัว .......(5)
พหุนามของ 11 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{11}{99}$, $\frac{22}{99}$, $\frac{33}{99}$, $\frac{44}{99}$,$\frac{55}{99}$,$\frac{66}{99}$,$\frac{77}{99}$,$\frac{88}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 9 ตัว ......(6)
พหุนามของ 33 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{33}{99}$, $\frac{66}{99}$, $\frac{99}{99}$} ทั้งหมด 3 ตัว ......(7)
(5),(6) และ (7) สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ 33+9-3 =39 ตัว (บางตัวซ้ำกัน)
ดังนั้น จึงเหลือ $\frac{p}{q}$=99-39 = 60 ตัว ( 10 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 3
จาก (4) สังเกตุ ค่า p ที่เหลือ จากการตัดพหุคูณของ 3 ,11 และ 33 ออกไปแล้ว ปรากฏว่า
p={1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26,...........,98} ทั้งหมด 60 ตัวจากขั้นตอนที่ 2 .........(8)

เมื่อทำ (5),(6) และ (7) เมื่อทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้วพบว่า
เศษส่วนบางตัว ทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว ทำให้ p มีค่าซ้ำกัน กับที่มีใน (8) (จึงตัดทิ้งได้)
แต่มีพหุคูณของ 27 คือ {$\frac{27}{99}$,$\frac{54}{99}$,$\frac{81}{99}$ } ได้
={$\frac{3}{11}$,$\frac{6}{11}$,$\frac{9}{11}$ }
ซึ่งทั้ง 3,6 และ 9 ไม่มีใน (8) ( 20 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 4

ดังนั้น P ทั้งหมดที่ไม่ซ้ำกันจึงมี =60+3 = 63 ตัว ( 5 คะแนน) ตอบ
Answer oly , 10 คะแนน

ขอบคุณครับ ไม่นึกว่ามันจะซับซ้อนขนาดนี้